質問<1681>2004/4/24
dy/dx=-xy+xexp(-x^2/2) y(0)=1 の解を求めなさい。 です。よろしくおねがいします。
お便り2004/5/8
from=坂田
武田先生お久しぶりです。お元気でしょうか? 6年ほど前にここでお世話になった坂田です。 今は関東の大学で理論物理の院生をやっています。 ふと懐かしくなってHPを覗いていたところ、 微分方程式の未解決問題が目に留まったので、 やってみようと思いました。 dy/dx = -xy + xexp(-x^2/2)をy(0)=1の下で解く。 まず、斉次方程式を解きます。すなわち dy/dx = -xy 1/y * dy/dx = -x 両辺をxで積分すると log|y| = -x^2/2 + C ∴ y = Aexp(-x^2/2) (A:任意定数) 定数変化法の考えに基づいて、Aをxの関数と考える。 非斉次方程式に代入すれば、 dA/dx * exp(-x^2/2) = xexp(-x^2/2) dA/dx = x ∴ A = x^2/2 + C (Cは任意定数) 従って、微分方程式の解は y(x) = Cexp(-x^2/2) + x^2/2 * exp(-x^2/2) y(0) = C = 1より y(x) = (x^2/2 +1)exp(-x^2/2) ・・・(答) 代入して確かめましたが、これで正しいようです。 それではまた。。