質問＜１６８１＞２００４／４／２４
from=ゆうすけ
「初期値問題」

　dy/dx=-xy+xexp(-x^2/2)
　y(0)=1
の解を求めなさい。

です。よろしくおねがいします。

お便り２００４／５／８
from=坂田

武田先生お久しぶりです。お元気でしょうか？
6年ほど前にここでお世話になった坂田です。
今は関東の大学で理論物理の院生をやっています。
ふと懐かしくなってＨＰを覗いていたところ、
微分方程式の未解決問題が目に留まったので、
やってみようと思いました。

dy/dx = -xy + xexp(-x^2/2)をy(0)=1の下で解く。

まず、斉次方程式を解きます。すなわち

dy/dx = -xy

1/y * dy/dx = -x

両辺をxで積分すると

log|y| = -x^2/2 + C

∴ y = Aexp(-x^2/2) (A:任意定数)

定数変化法の考えに基づいて、Aをxの関数と考える。
非斉次方程式に代入すれば、

dA/dx * exp(-x^2/2) = xexp(-x^2/2)

dA/dx = x

∴ A = x^2/2 + C (Cは任意定数) 

従って、微分方程式の解は

y(x) = Cexp(-x^2/2) + x^2/2 * exp(-x^2/2)

y(0) = C = 1より

y(x) = (x^2/2 +1)exp(-x^2/2) ・・・(答)

代入して確かめましたが、これで正しいようです。
それではまた。。