質問＜１７＞９８／６／１８
from=どだ
「微分の基本公式」

次の公式がなぜ成立するのか分かりません。

１　　{ cf(x) }’ ＝  cf’(x)
２　　{ f(x)  + g(x) }’ ＝ f’(x) + g’(x)
３　　{ f(x)g(x) }’ ＝ f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
４　　{ f(x)/g(x) }’ ＝ { f’(x)g(x) - f(x)g’(x) } / { g(x) }^2

　　　できるだけ早く教えて下さい。

お返事９８／６／１９
from=武田

全部、導関数の定義にもどして証明をします。

１　　{ cf(x) }’ ＝  cf’(x)
【証明】
{ cf(x) }’＝lim｛ cf(x+h)-cf(x) ｝/h
　　　　　 ＝lim c｛ f(x+h)-f(x) ｝/h
　　　　　 ＝c ×lim｛ f(x+h)-f(x) ｝/h
　　　　　 ＝cf’(x)

２　　{ f(x)  + g(x) }’ ＝ f’(x) + g’(x)
【証明】
{ f(x)  + g(x) }’＝lim〔｛ f(x+h)+g(x+h) ｝－｛ f(x)+g(x) ｝〕/h
　　　　　 ＝lim 〔｛ f(x+h)-f(x) ｝＋｛ g(x+h)-g(x) ｝〕/h
　　　　　 ＝lim｛ f(x+h)－f(x) ｝/h ＋ lim｛ g(x+h)－g(x) ｝/h
　　　　　 ＝ f’(x) + g’(x)

３　　{ f(x)g(x) }’ ＝ f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
【証明】
{ f(x)g(x) }’＝lim｛f(x+h)g(x+h)－f(x)g(x)｝/h
　　　　　 ＝lim｛f(x+h)g(x+h)－f(x)g(x+h)＋f(x)g(x+h)－f(x)g(x)｝/h
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明のために挿入
　　　　　 ＝lim｛f(x+h)－f(x)｝g(x+h)/h ＋ lim f(x)｛g(x+h)－g(x)｝/h
　　　　　 ＝lim｛f(x+h)－f(x)｝/h×g(x+h)＋ lim f(x)×｛g(x+h)－g(x)｝/h
　　　　　 ＝ f’(x)g(x) + f(x)g’(x)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ただし、lim g(x+h)＝g(x)

４　　{ f(x)/g(x) }’ ＝ { f’(x)g(x) - f(x)g’(x) } / { g(x) }^2
【証明】
{ f(x)/g(x) }’＝lim｛f(x+h)/g(x+h)－f(x)/g(x)｝/h
　　　　　　　　　　　　　分母を通分
　　　　　 ＝lim〔｛f(x+h)g(x)－f(x)g(x+h)｝/｛g(x+h)g(x)｝〕/h
　　　　　 ＝lim｛f(x+h)g(x)－f(x)g(x)＋f(x)g(x)－f(x)g(x+h)｝/h/｛g(x+h)g(x)｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　証明のために挿入
　　　　　 ＝lim〔｛f(x+h)－f(x)｝g(x)/h－f(x)｛g(x+h)－g(x)｝/h〕/｛g(x+h)g(x)｝
　　　　　 ＝｛f’(x)g(x)－ f(x)g’(x)｝/{ g(x) }^2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ただし、lim g(x+h)＝g(x)