質問＜１７０１＞２００４／５／１６
from=ひろ
「軌跡の問題等」

①放物線y^2=4xの直交するニ接線の交点の軌跡を求めよ。

②３点Ｏ（0，0）　Ｐ（x0，y0）　Ｑ（x1，y1）の作る三角形の面積を
　x0，y0，x1，y1のみを用いて表せ。

上記の問題で悩んでいます。
よろしくお願いします。

お便り２００４／５／１９
from=BossF

BossFです、1701の解答とヒントをば
 
（１）
いろんなアプローチが考えられますが、
接線の傾きから行ってみたいと思います
 
まず y^2=4x …①の両辺を(xで)微分して
2ｙ・y'=4  i.e. y'=2/y …②
 
さてニ接線 g、ｌ の傾きは ｍ、-1/ｍ (ｍ≠0)　とおけ
②より、接点のｙ座標は各々2/ｍ、-2ｍ
すると①より接点のｘ座標は各々1/(ｍ^2)、ｍ^2
 
よって接点は(1/(ｍ^2),2/ｍ),(ｍ^2,-2ｍ)
 
∴ｇ；ｙ=ｍ(ｘ-1/(ｍ^2))+2/ｍ
        =ｍｘ+1/ｍ …③
　ｌ；ｙ=(-1/ｍ)(x-ｍ^2)-2ｍ
　　　　=(-1/ｍ)x-ｍ…④
 
③④を連立して解けば　ｘ=-1,y=-ｍ+1/ｍ
ｍ≠0のときy=-ｍ+1/ｍは全実数を動きますから
求める軌跡は　
　　　　　　　　　　　ｘ＝-1　　■
 
（２）
とりあえず答は
　　　　Ｓ＝｜x0y1-x1y0｜/2
求め方は
Ｓ＝1/2ＯＰ・ＯＱsin∠POQ から
OP={x0^2+y0^2}^(1/2),OQ={x1^2+y1^2}^(1/2)と
sin∠POQ＝{1-(cos∠POQ)^2}^(1/2) で
cos∠POQ＝{OP^2+OQ^2-PQ^2}/2OPOQ であることから
ひたすら計算します(^^;;