質問<1701>2004/5/16
①放物線y^2=4xの直交するニ接線の交点の軌跡を求めよ。 ②3点O(0,0) P(x0,y0) Q(x1,y1)の作る三角形の面積を x0,y0,x1,y1のみを用いて表せ。 上記の問題で悩んでいます。 よろしくお願いします。
お便り2004/5/19
from=BossF
BossFです、1701の解答とヒントをば (1) いろんなアプローチが考えられますが、 接線の傾きから行ってみたいと思います まず y^2=4x …①の両辺を(xで)微分して 2y・y'=4 i.e. y'=2/y …② さてニ接線 g、l の傾きは m、-1/m (m≠0) とおけ ②より、接点のy座標は各々2/m、-2m すると①より接点のx座標は各々1/(m^2)、m^2 よって接点は(1/(m^2),2/m),(m^2,-2m) ∴g;y=m(x-1/(m^2))+2/m =mx+1/m …③ l;y=(-1/m)(x-m^2)-2m =(-1/m)x-m…④ ③④を連立して解けば x=-1,y=-m+1/m m≠0のときy=-m+1/mは全実数を動きますから 求める軌跡は x=-1 ■ (2) とりあえず答は S=|x0y1-x1y0|/2 求め方は S=1/2OP・OQsin∠POQ から OP={x0^2+y0^2}^(1/2),OQ={x1^2+y1^2}^(1/2)と sin∠POQ={1-(cos∠POQ)^2}^(1/2) で cos∠POQ={OP^2+OQ^2-PQ^2}/2OPOQ であることから ひたすら計算します(^^;;