質問<1702>2004/5/16
f(x)はx>0で定義された関数で、 x=1で微分可能でf'(1)=2かつ任意のx>0、y>0に対してf(xy)=f(x)+f(y)を 満足するものとする。このとき次の問いに答えよ。 (1) f(1)の値を求めよ。これを利用することによりf(1/x)をf(x)で表せ。 (2) f(x/y)をf(x)とf(y)で表せ。 (3) f(1)、f'(1)の値に注意することにより、 lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h をxで表せ。 この問題が、考え方からして全くわかりません。 どうか教えてください。
お便り2004/5/17
from=wakky
積が和になる・・・なんか対数っぽいと気づけばいいですね(笑 (1) f(1)を知りたいんだから xy=1 とすれば y=1/x f(xy)=f(x)+f(y)より f(1)=f(x)+f(1/x)・・・① これが任意のxについて言えるからx=1を代入すると f(1)=2f(1) よって f(1)=0 (まずlog1=0が見えた) また①より f(x)+f(1/x)=0 よって f(1/x)=-f(x) (log(1/x)=-logxも見えた) (2) (1)の結果から f(x/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y) (3) まず微分の定義から lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=f'(x) これを意識しつつ lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h =lim[h→0][f{(x+h)/x}]/h 【(2)より】 =lim[h→0]{f(1+h/x)-f(1)}/h 【f(1)=0を利用して】 =lim[h→0](1/x){f(1+h/x)-f(x)}/(h/x) 【分母・分子をxで割りました】 =(1/x)f'(1) 【h→0のときh/x→0 と微分の定義から】 =2/x よって lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=2/x つまり f(x)=2logx (底はe) だったようです。 2logxy=2(logx+logy)=f(x)+f(y) 2log(x/y)=2(logx-logy) 2log1=0 2logxを微分すると 2/x どれもうまく当てはまります。
お便り2004/5/17
from=下野哲史
(1) x=y=1 のときを考えると f(xy)=f(x)+f(y) より f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0 また、f(1)=f(x・1/x)=f(x)+f(1/x)=0 であるから f(1/x)=-f(x) (2) f(x/y)=f(x・1/y)=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y) (3) f'(1)=2 より lim[h→0]{f(1+h)-f(1)}/h=2 lim[h→0]f(1+h)/h=2 x>0 より h→0 ならば h/x→0 であるから lim[h→0]f(1+h/x)/(h/x)=2 lim[h→0]xf( (x+h)/x )/h=2 x lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=2 lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h=2/x 面白い問題ですね。