質問＜１７２３＞２００４／６／１
from=ミッキー＆ミニー
「母集団の平均と分散」

はじめまして。
私は大学生３年生です。
どうしても分からない所があったために、メールします。
宜しくお願いします。

《問題》
　確率変数が次の分布に従うとき、母集団の平均と分散を
求めなさい。

（１）一様分布（離散型）
　　ｆ(ｘ)＝１/ｎ　(ｘ＝１，２，３，…，ｎ)
　　　平均：(ｎ＋１)/２、分散：(ｎ－１)(ｎ＋１)/１２

（２）ポアソン分布（離散型）
　　ｆ(ｘ)＝(λ^ｘ)×{ｅ^(－λ)}/ｘ!　(ｘ＝１，２…)
　　　平均：λ、分散：λ

（３）一様分布（連続型）
　　ｆ(ｘ)＝１/ｂ－ａ　(ａ＜ｘ＜ｂ)
　　　平均：(ａ＋ｂ)/２、分散：(ｂ－ａ)^２/１２

お便り２００４／６／２
from=juin

(1)
平均：μ=(1+2+...+n)/n=n(n+1)/(2n)=(n+1)/2
分散：v=E({X-μ}^2)=E(X^2)-μ^2
ここで
E(X^2)=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)/n
　　　=n(n+1)(2n+1)/(6n)
　　　=(n+1)(2n+1)/6
よって
v=(n+1)(2n+1)/6-{(n+1)/2}^2
　=(n+1)(n-1)/12

(2)
x=0の時も含めないと全体の確率が１になりません。
平均：μ=e^(-λ)Σx(λ^x)/x!=e^(-λ)Σ(λ^x)/(x-1)!
　　　　=e^(-λ)λΣ(λ^(x-1)/(x-1)!=e^(-λ)λe^λ
　　　　=λ

(3)
平均：μ=∫{x/(b-a)}dx={(b^2-a^2)/2}/(b-a)=(b+a)/2
分散：v=∫{(x-(b+a)/2}^2*dx/(b-a)
t=x-(b+a)/2とおくと,
-(b-a)/2＜t＜(b-a)/2

∫t^2*dt/(b-a)
=[t^3/3]/)b-a)
=[{(b-a)/2}^3-{-(b-a)/2}^3]/3(b-a)
=(2(b-a)^3/8)/3(b-a)
=(b-a)^2/12