質問＜１７５５＞２００４／６／２３
from=ミドリプヨ
「極限値の計算」

次の極限値の計算をどうしたらよいのか見当がつきません。
どうか教えてください。

問：次の極限値を求めよ。
①lim x→0 (a^x-1)/x（a＞0）
　(ロピタルの定理は使用しないで解く)

②lim n→∞ 1/n^2∑√(n^2-k^2)（k=1,1,2,…,n）

お便り２００４／６／２５
from=下野哲史

①
f(x)=a^x とおくと、
f(0)=a^0=1 より
lim x→0 (a^x-1)/x
=lim x→0 ( f(x)-f(0) )/ (x-0)
=f'(0)
=a^0 ・log a=log a
 
②
lim n→∞ 1/n^2∑√(n^2-k^2)（k=1,1,2,…,n）
=lim n→∞ 1/n∑√(1-(k/n)^2)（k=1,1,2,…,n）
=∫^1_0 √(1-x^2)dx
=∫^(π/2)_0 √(1-sin^2 t)cos t dt
=∫^(π/2)_0 cos^2 t dt
=∫^(π/2)_0 (1/2+1/2 cos 2t) dt
=1/2 [t + 1/2 sin 2t]^(π/2)_0
=π/4

計算には全く自信なし。
論理の展開のみご参照下さい。
すみません。