質問<1755>2004/6/23
次の極限値の計算をどうしたらよいのか見当がつきません。 どうか教えてください。 問:次の極限値を求めよ。 ①lim x→0 (a^x-1)/x(a>0) (ロピタルの定理は使用しないで解く) ②lim n→∞ 1/n^2∑√(n^2-k^2)(k=1,1,2,…,n)
お便り2004/6/25
from=下野哲史
① f(x)=a^x とおくと、 f(0)=a^0=1 より lim x→0 (a^x-1)/x =lim x→0 ( f(x)-f(0) )/ (x-0) =f'(0) =a^0 ・log a=log a ② lim n→∞ 1/n^2∑√(n^2-k^2)(k=1,1,2,…,n) =lim n→∞ 1/n∑√(1-(k/n)^2)(k=1,1,2,…,n) =∫^1_0 √(1-x^2)dx =∫^(π/2)_0 √(1-sin^2 t)cos t dt =∫^(π/2)_0 cos^2 t dt =∫^(π/2)_0 (1/2+1/2 cos 2t) dt =1/2 [t + 1/2 sin 2t]^(π/2)_0 =π/4 計算には全く自信なし。 論理の展開のみご参照下さい。 すみません。