質問＜１７６６＞２００４／６／２８
from=まゆみ
「微分法」

一辺の長さが6の正方形ABCDを底辺とする正四角錐P－ABCDがあり、
PA=PB=PC=PD=6である。その内部に底辺の円が正方形ABCD上にあり、
4つの側面に接する円柱を作る。
円柱の体積と体積の最大値を求める問題が分かりません。
教えてください。

お便り２００４／７／９
from=wakky

図が書ければいいのですが・・・
ちょっと自信ありませんが、ご勘弁を

四角錐の頂点から底面の正方形に垂直で一辺に並行な面で切ると、
底辺６他の２辺が３√３の二等辺三角形になります。
その二等辺三角形の高さは３√２となります。
その二等辺三角形に内接する長方形の底辺を２ｘ、高さをｙとすると、
問題の円柱の体積は、πx^2yとなります。
また、三角形の相似から
（3√2-y）:x=3√2:3　となり
y=3√2-xとなります。
従って、円錐の体積をV=f(x)とすると
V=f(x)=π(-x^3+3√2・x^2)・・・①
xで微分して
f'(x)=-3πx(x-2√2)
x>0でなければならないから
f'(x)=0とするとx=2√2
0＜x＜2√2　のとき　f'(x)>0
x>2√2　のとき　f'(x)＜0　より
Vはx=2√2のとき極大かつ最大となる。
そのとき①より
V=(24-16√2)π

計算は確認してないのでかなり怪しいです（汗

お便り２００４／７／９
from=T.K.

底円の半径が決まれば、題意を満たす(4つの側面に接する)円柱の高さは
決まってしまいますから、前者を変数にして体積を記述して、
あとは単に微分して増減表書けばいいだけですね。