質問<1766>2004/6/28
一辺の長さが6の正方形ABCDを底辺とする正四角錐P-ABCDがあり、 PA=PB=PC=PD=6である。その内部に底辺の円が正方形ABCD上にあり、 4つの側面に接する円柱を作る。 円柱の体積と体積の最大値を求める問題が分かりません。 教えてください。
お便り2004/7/9
from=wakky
図が書ければいいのですが・・・ ちょっと自信ありませんが、ご勘弁を 四角錐の頂点から底面の正方形に垂直で一辺に並行な面で切ると、 底辺6他の2辺が3√3の二等辺三角形になります。 その二等辺三角形の高さは3√2となります。 その二等辺三角形に内接する長方形の底辺を2x、高さをyとすると、 問題の円柱の体積は、πx^2yとなります。 また、三角形の相似から (3√2-y):x=3√2:3 となり y=3√2-xとなります。 従って、円錐の体積をV=f(x)とすると V=f(x)=π(-x^3+3√2・x^2)・・・① xで微分して f'(x)=-3πx(x-2√2) x>0でなければならないから f'(x)=0とするとx=2√2 0<x<2√2 のとき f'(x)>0 x>2√2 のとき f'(x)<0 より Vはx=2√2のとき極大かつ最大となる。 そのとき①より V=(24-16√2)π 計算は確認してないのでかなり怪しいです(汗
お便り2004/7/9
from=T.K.
底円の半径が決まれば、題意を満たす(4つの側面に接する)円柱の高さは 決まってしまいますから、前者を変数にして体積を記述して、 あとは単に微分して増減表書けばいいだけですね。