質問<1790>2004/7/6
すみませんが級数の和について3問わからないので、 どなたか教えていただけませんか? できれば計算式とかも書いてくださるとありがたいです。 どうか宜しくお願いいたします。 lim[n→∞]Snを求めよ。 (1)Sn=∑[k=1,n]1/(k(k+1)) (2)Sn=∑[k=1,n]1/(k(k+1)(k+2)(k+3)) (3)Sn=∑[k=1,n]k+1/(k+2)! 問題が多くて申し訳ありません。お願いします。
お便り2004/7/9
from=wakky
ポイントは部分分数に変形です。 (1) 1/{k(k+1)}=(1/k)-{1/(k+1)} よって Sn={1-(1/2)}+{(1/2)-(1/3)}+ ・・・+{1/(n-1)-(1/n)}+{1/n-1/(n+1)} =1-(1/n)--→1(n--→∞) (2) 1/{k(k+1)(k+2)(k+3)} =(1/3)[1/{k(k+1)(k+2)} -1/{(k+1)(k+2)(k+3)}] (1)と同じように Sn=(1/18)-1/{3(n+1)(n+2)(n+3)} ---→1/18 (n--→∞) (3) (k+1)/(k+2)! ={(k+2)-1}/(k+2)! ={1/(k+1)!}-{1/(k+2)!} よって Sn=(1/2)-{1/(n+2)!} --→1/2(n--→∞)