質問＜１７９０＞２００４／７／６
from=阪見　澪
「級数の和」

すみませんが級数の和について３問わからないので、
どなたか教えていただけませんか？
できれば計算式とかも書いてくださるとありがたいです。
どうか宜しくお願いいたします。

lim[n→∞]Ｓnを求めよ。
　（１）Ｓn=∑[k=1,n]1/(k(k+1))
　（２）Ｓn=∑[k=1,n]1/(k(k+1)(k+2)(k+3))
　（３）Ｓn=∑[k=1,n]k+1/(k+2)!

問題が多くて申し訳ありません。お願いします。

お便り２００４／７／９
from=wakky

ポイントは部分分数に変形です。
（１）
１／｛ｋ（ｋ＋１）｝＝（１／ｋ）－｛１／（ｋ＋１）｝
よって
Ｓｎ＝｛１－（１／２）｝＋｛（１／２）－（１／３）｝＋
　　　・・・＋｛１／（ｎ－１）－（１／ｎ）｝＋｛１／ｎ－１／（ｎ＋１）｝
＝１－（１／ｎ）－－→１（ｎ－－→∞）

（２）
１／｛ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）｝
＝（１／３）［１／｛ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）｝
　　　　－１／｛（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）｝］
（１）と同じように
Ｓｎ＝（１／１８）－１／｛３（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）｝
－－－→１／１８　（ｎ－－→∞）

（３）
（ｋ＋１）／（ｋ＋２）！
＝｛（ｋ＋２）－１｝／（ｋ＋２）！
＝｛１／（ｋ＋１）！｝－｛１／（ｋ＋２）！｝
よって
Ｓｎ＝（１／２）－｛１／（ｎ＋２）！｝
－－→１／２（ｎ－－→∞）