質問＜１７９４＞２００４／７／９
from=りょう
「シグマの関係式の証明」

はじめまして、りょうと申します。
手当たり次第に教科書や参考書に目を通したのですが、
以下の関係式の証明がどうしてもわかりません。

￣     1　ｎ
x　＝　― ∑ xi　とするとき
　　   n　i=1

1　 n   2   ￣2
― ∑ xi  － x  ≧　０ であることを示せ。
ｎ i=1

という式です。観づらくなってしまい申し訳ありません。

先生は「因数分解を使うと楽に出来る」とおっしゃったのですが、
どこにどう使うかが分からず、思い切って投稿させていただきました。

お手数かけますが、よろしくおねがいします。

お便り２００４／７／１０
from=UnderBird

UnderBird です。よろしくお願いします。

問題のネタは、
Σ_(i=1)^(n) ((x_i)-X)^2 >=0  ただしX=(x_1+x_2+・・・+x_n)/n
ということです。
(各データとそのデータの平均の差を２乗したものの和は、
必ず0以上ですから)
これを下から上へ見ていけば証明になると思います。
もっとスマートにできるのでしょうが、とりあえず。
左辺=Σ_(i=1)^(n) ((x_i)^2-2Xx_i+X^2)
      =Σ(i=1)^(n) (x_i)^2-2XΣ(i=1)^(n) (x_i)+X^2Σ(i=1)^(n)1
      =Σ(i=1)^(n) (x_i)^2-2X*(nX)+n*X^2
      =Σ(i=1)^(n) (x_i)^2-n*X^2
よって、両辺をnで割れば
　　(1/n)*Σ(i=1)^(n) (x_i)^2-X^2>=0              Q.E.D.