質問<1801>2004/7/11
3nCn/2nCn(n→∞)をお願いします。
お便り2004/7/27
from=UnderBird
UnderBirdです。 3nCn=(3n)!/n!/(3n-n)!=3n!/(n!*(2n)!) 同様にして 3nCn/2nCn =(3n)!n!/((2n)!*(2n)!) ={(3n)!/(2n)!}*{n!/(2n)!} ={3n*(3n-1)*(3n-2)*・・・*(2n+1)}/{2n*(2n-1)*(2n-2)*・・・ *(n+1)} =(3n/2n)*(3n-1)/(2n-1)*(3n-2)/(2n-2)*・・・*(2n+1)/(n+1)・・・(1) ここで、(3n-k)/(2n-k) (k=1,2,3,・・・n-1)と3n/2n=3/2を比較すると (3n-k)/(2n-k)-3/2=k/{2(2n-k)}>0より (1)式から 3nCn/2nCn>(3/2)^nを得る。 (3/2)^n→∞(n→∞)なので、3nCn/2nCn→∞(n→∞)
お便り2004/8/2
from=オレンジ
1801の問題なんですが、n→0に近づいたらどうなるでしょうか?
お便り2004/8/3
from=UnderBird
nCrにおいて、 n,rはn>=rであるような0以上の整数だから、n→0というのはこのままでは考えられま せん。 (nが0にいくらでも近づくことはできませんね。) ただし、n=0の場合は求められます。 nCr=n!/{r!*(n-r)!}と0!=1(これは定義されるもの)から、0C0=1を得るので n=0のとき、3nCn/2nCn=1となる。 (rのみr=0の場合は二項定理などで現れるが、0C0は意味を持つのか少々疑問な部分 もあります) ところで、このような疑問をもつことはとても大切なことです。この精神を忘れない よう心がけてほしいです。 また、n!(階乗)についてもnは0以上の整数で定義されますがこれを拡張してガンマ関 数というのがあります。