質問＜１８０１＞２００４／７／１１
from=オレンジ
「極限」

3ｎＣｎ/2ｎＣｎ(ｎ→∞)をお願いします。

お便り２００４／７／２７
from=UnderBird

UnderBirdです。 

3ｎＣｎ=(3n)!/n!/(3n-n)!=3n!/(n!*(2n)!) 
同様にして 
3ｎＣｎ/2ｎＣｎ
=(3n)!n!/((2n)!*(2n)!) 
={(3n)!/(2n)!}*{n!/(2n)!} 
={3n*(3n-1)*(3n-2)*・・・*(2n+1)}/{2n*(2n-1)*(2n-2)*・・・ *(n+1)} 
=(3n/2n)*(3n-1)/(2n-1)*(3n-2)/(2n-2)*・・・*(2n+1)/(n+1)・・・(1) 
ここで、(3n-k)/(2n-k) (k=1,2,3,・・・n-1)と3n/2n=3/2を比較すると 
(3n-k)/(2n-k)-3/2=k/{2(2n-k)}>0より 
(1)式から 
3ｎＣｎ/2ｎＣｎ>(3/2)^nを得る。 
(3/2)^n→∞(n→∞)なので、3ｎＣｎ/2ｎＣｎ→∞(n→∞)

お便り２００４／８／２
from=オレンジ

１８０１の問題なんですが、n→0に近づいたらどうなるでしょうか？

お便り２００４／８／３
from=UnderBird

nCrにおいて、
n,rはn>=rであるような0以上の整数だから、n→0というのはこのままでは考えられま
せん。
（nが０にいくらでも近づくことはできませんね。）
ただし、n=0の場合は求められます。
nCr=n!/{r!*(n-r)!}と0!=1(これは定義されるもの)から、0C0=1を得るので
n=0のとき、3nCn/2nCn=1となる。
（ｒのみr=0の場合は二項定理などで現れるが、0C0は意味を持つのか少々疑問な部分
もあります）

ところで、このような疑問をもつことはとても大切なことです。この精神を忘れない
よう心がけてほしいです。
また、n!(階乗)についてもnは0以上の整数で定義されますがこれを拡張してガンマ関
数というのがあります。