質問＜１８０６＞２００４／７／１４
from=Always
「数列」

数Bの数列の問題です。

α1=5, 3αn+1=2-αn,(n=1,2,3)で定義される数列の　　
一般項αnをnで表せ。

どうぞ宜しくお願いいたします。

お便り２００４／７／１４
from=juin

limαn=xが存在したとする。
3x=2-xを解き、x=1/2
b(n)=α(n-1)-1/2とすると、3b(n+1)=-b(n)となり、b(n+1)=(-1/3)b(n)
b(1)=5-1/2=9/2だから、b(n)=(9/2)(-1/3)^(n-1)
α(n)=(9/2)(-1/3)^(n-1)+1/2

お便り２００４／７／１４
from=wakky

特性方程式 3x=2-xを解いて x=1/2
α(n+1)-1/2=(-1/3){α(n)-1/2}
よって
{α(n)-1/2}は初項α(1)-1/2=9/2 公比(-1/3)の等比数列
・・・云々・・・とやるのが常套手段なんですが、
この問題を質問してきたとなると、
「どうしてか？」ってことなんだと思います。
二項間漸化式の基本中の基本ですので、覚えておきましょう。

与えられた漸化式を変形して
α(n+1)=(-1/3)α(n)+2/3・・・①
これが前述したように、うまく等比数列に帰着するといいわけです。
そこで、
α(n+1)-s=t{α(n)-s}・・・②とおいてみます。
ここでsとtが上手く決まれば
数列{α(n)-s}は初項α(1)-s公比tの等比数列となるって訳です。
ならば、②を①の形に変形してみると
α(n+1)=t･α(n)+s(1-t)・・・③となります
③と①の係数を比較してみましょう
t=-1/3はすぐわかります。
s(1-t)=2/3 より s=1/2 となります。
これを②に代入して変形すると与えられた漸化式を確かに満たします。
つまり
{α(n)-1/2}は初項α(1)-1/2=9/2 公比(-1/3)の等比数列ってことになる訳です
ならば
α(n)-(1/2)=(9/2)(-1/3)^(n-1)となって
整理整頓すると
α(n)=(1/2){9(-1/3)^(n-1)+1}となります。

次のページはかなり参考になると思います。
http://www.graco.c.u-tokyo.ac.jp/~kashiwa/print/suu/node18.html