質問<1806>2004/7/14
数Bの数列の問題です。 α1=5, 3αn+1=2-αn,(n=1,2,3)で定義される数列の 一般項αnをnで表せ。 どうぞ宜しくお願いいたします。
お便り2004/7/14
from=juin
limαn=xが存在したとする。 3x=2-xを解き、x=1/2 b(n)=α(n-1)-1/2とすると、3b(n+1)=-b(n)となり、b(n+1)=(-1/3)b(n) b(1)=5-1/2=9/2だから、b(n)=(9/2)(-1/3)^(n-1) α(n)=(9/2)(-1/3)^(n-1)+1/2
お便り2004/7/14
from=wakky
特性方程式 3x=2-xを解いて x=1/2 α(n+1)-1/2=(-1/3){α(n)-1/2} よって {α(n)-1/2}は初項α(1)-1/2=9/2 公比(-1/3)の等比数列 ・・・云々・・・とやるのが常套手段なんですが、 この問題を質問してきたとなると、 「どうしてか?」ってことなんだと思います。 二項間漸化式の基本中の基本ですので、覚えておきましょう。 与えられた漸化式を変形して α(n+1)=(-1/3)α(n)+2/3・・・① これが前述したように、うまく等比数列に帰着するといいわけです。 そこで、 α(n+1)-s=t{α(n)-s}・・・②とおいてみます。 ここでsとtが上手く決まれば 数列{α(n)-s}は初項α(1)-s公比tの等比数列となるって訳です。 ならば、②を①の形に変形してみると α(n+1)=t・α(n)+s(1-t)・・・③となります ③と①の係数を比較してみましょう t=-1/3はすぐわかります。 s(1-t)=2/3 より s=1/2 となります。 これを②に代入して変形すると与えられた漸化式を確かに満たします。 つまり {α(n)-1/2}は初項α(1)-1/2=9/2 公比(-1/3)の等比数列ってことになる訳です ならば α(n)-(1/2)=(9/2)(-1/3)^(n-1)となって 整理整頓すると α(n)=(1/2){9(-1/3)^(n-1)+1}となります。 次のページはかなり参考になると思います。 http://www.graco.c.u-tokyo.ac.jp/~kashiwa/print/suu/node18.html