質問<181>99/10/8
こんにちは。 次の微分方程式の解き方を教えてください。 u”(t)+u(t)=k<u(t)>^4 「”」は二階微分、kは定数です。 よろしくお願いします。
お返事99/10/8
from=武田
変数を変更します。 y¨+y=ky4として、考えてみましょう。 まず、補助方程式 y¨+y=0 を解くと、 y=Asinx+Bcosxという補助方程式の一般解が求まりま す。しかし、右辺の ky4 がはいると、 問題の微分方程式の特殊解が求まりません。 これが求まれば、答が y=Asinx+Bcosx+(特殊解) となるはずなのですが……? **************************** これから先はギブアップです。 どなたかヒント下さい。 **************************** ※未解決問題に移したところ、星野さんからアドバイスをいただきました。 感謝!!
お便り2001/9/5
from=星野敏司
先ず常套手段として (t が式の中に現れないので) p = u' と置く。 u" = dp/dt = (dp/du)(du/dt) = (dp/du)p (by chain law). 従って u" + u = ku^4 は p(dp/du) + u = k u^4 となり p dp/du = k u^4 - u 従って ∫p dp = ∫(k u^4 - u) du p^2 / 2 = k u^5 / 5 - u^2 / 2 + C/2 (u')^2 = 2k u^5 / 5 - u^2 / 2 + C, C は任意定数。 なのですが,結局 t = ∫du/√(2k u^5 / 5 - u^2 / 2 + C) になりますよね ? これは超楕円積分とかいって, これ以上計算できないのだと思いました けど...。それともここまで出せばいいのかしらん ?