質問＜１８１＞９９／１０／８
from=坂田
「微分方程式の解き方」

こんにちは。
次の微分方程式の解き方を教えてください。

ｕ”（ｔ）+ｕ（ｔ）＝ｋ＜ｕ（ｔ）＞＾4

「”」は二階微分、ｋは定数です。
よろしくお願いします。

お返事９９／１０／８
from=武田

変数を変更します。
ｙ¨＋ｙ＝ｋｙ4として、考えてみましょう。
まず、補助方程式　ｙ¨＋ｙ＝０　を解くと、
ｙ＝Ａsinｘ＋Ｂcosｘという補助方程式の一般解が求まりま
す。しかし、右辺の　ｋｙ4　がはいると、
問題の微分方程式の特殊解が求まりません。
これが求まれば、答が
ｙ＝Ａsinｘ＋Ｂcosｘ＋（特殊解）
となるはずなのですが……？
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これから先はギブアップです。
どなたかヒント下さい。
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※未解決問題に移したところ、星野さんからアドバイスをいただきました。
感謝！！

お便り２００１／９／５
from=星野敏司

先ず常套手段として (t が式の中に現れないので)
p = u' と置く。
u" = dp/dt = (dp/du)(du/dt) = (dp/du)p
(by chain law).

従って u" + u = ku^4 は
p(dp/du) + u = k u^4
となり
p dp/du = k u^4 - u
従って
∫p dp = ∫(k u^4 - u) du
p^2 / 2 = k u^5 / 5 - u^2 / 2 + C/2
(u')^2 = 2k u^5 / 5 - u^2 / 2 + C,
C は任意定数。

なのですが,結局
t = ∫du/√(2k u^5 / 5 - u^2 / 2 + C)
になりますよね ?
これは超楕円積分とかいって, これ以上計算できないのだと思いました
けど...。それともここまで出せばいいのかしらん ?