質問<1815>2004/7/20
3角形ABCの辺BC,CA,ABの中点をD,E,Fとし、 △AFE,△BDF,△CEDの外心をそれぞれP,Q,Rとする。 このとき △ABC,△PQRの外心は一致することを示し、 また△AFE,△BDF,△CEDの外接円はいずれも△ABCの外心を通り、 △ABCの外接円に内接すこと示せ。
お便り2004/8/1
from=UnderBird
三角形ABCの位置ベクトルをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcとし、 その外接円の中心をO(ベクトルo)とすると |ベクトルOA|=|ベクトルOB|=|ベクトルOC|=Rである。 このとき、外心P,Q,Rの位置ベクトルは、条件よりそれぞれP(ベクトルa/2) ,Q(ベクトルb/2),R(ベクトルc/2)となる。 (なぜなら|ベクトルPA|=|ベクトルPF|=|ベクトルPE|=R/2は容易に確かめら れる。他も同様) よって、|ベクトルOP|=|ベクトルOQ|=|ベクトルOR|=R/2よりOは、 三角形PQRの外心でもあり、 三角形ABCと三角形PQRの外心は一致する。・・・(証明終わり) また、|ベクトルPA|=|ベクトルPO|=R/2よりPA=POであるから 三角形AFEの外接円は三角形ABCの外心Oを通る。 残りの三角形BDF,CEDについても同様に成り立つ。・・・(証明終わり) 最後に、2つの円O(半径R),O'(半径r)中心間の距離OO'=dにおいて、 d=|R-r|⇔2つの円OO’は内接 だから、これも成り立つことが上記のことから容易にわかる。 以上より各三角形AFE,BDF,CEDの外接円は、 三角形ABCに内接する。・・・(証明終わり)