質問＜１８１５＞２００４／７／２０
from=ぽぽんたぽんた
「外心」

３角形ABCの辺BC,CA,ABの中点をD,E,Fとし、
△AFE,△BDF,△CEDの外心をそれぞれP,Q,Rとする。
このとき
△ABC,△PQRの外心は一致することを示し、
また△AFE,△BDF,△CEDの外接円はいずれも△ABCの外心を通り、
△ABCの外接円に内接すこと示せ。

お便り２００４／８／１
from=UnderBird

三角形ABCの位置ベクトルをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcとし、
その外接円の中心をO（ベクトルo）とすると
|ベクトルOA|=|ベクトルOB|=|ベクトルOC|＝Rである。
このとき、外心P,Q,Rの位置ベクトルは、条件よりそれぞれP(ベクトルa/2)
,Q(ベクトルb/2),R(ベクトルc/2)となる。
（なぜなら|ベクトルPA|=|ベクトルPF|=|ベクトルPE|=R/2は容易に確かめら
れる。他も同様）
よって、|ベクトルOP|=|ベクトルOQ|=|ベクトルOR|=R/2よりOは、
三角形PQRの外心でもあり、
三角形ABCと三角形PQRの外心は一致する。・・・（証明終わり）

また、|ベクトルPA|=|ベクトルPO|=R/2よりPA=POであるから
三角形AFEの外接円は三角形ABCの外心Oを通る。
残りの三角形BDF，CEDについても同様に成り立つ。・・・（証明終わり）

最後に、2つの円O（半径R），O'（半径r）中心間の距離OO'=dにおいて、
d=|R-r|⇔2つの円OO’は内接
だから、これも成り立つことが上記のことから容易にわかる。
以上より各三角形AFE,BDF,CEDの外接円は、
三角形ABCに内接する。・・・（証明終わり）