質問＜１８１６＞２００４／７／２０
from=ヂルチ
「カテナリー曲線の長さ」

ｙ＝（a/2)(e^(x/a)+e^(-x/a))のカテナリーとよばれる図形において
ｘ＝-ｘ1からｘ＝ｘ1までの弧の長さを求めよ
という問題を学校でだされたのですが
（大学に入ってから詳しくやるといわれましたが）
わかりません。どうかご教授ください

お便り２００４／７／２５
from=UnderBird

UnderBirdです。

x=aからx=bまでのy=f(x)の曲線の長さlは、
l=∫_a^b √{1+(y')^2}dx
で求めます。
ｙ＝（a/2)(e^(x/a)+e^(-x/a))のとき、
y'=（1/2)(e^(x/a)-e^(-x/a))
1+(y')^2=（1/4)(e^(2x/a)+2+e^(-2x/a))={(e^(x/a)+e^(-x/a))/2}^2より
√{1+(y')^2}=(e^(x/a)+e^(-x/a))/2
また、偶関数より
l=2∫_0^x1 (e^(x/a)+e^(-x/a))/2 dx
 =∫_0^x1 e^(x/a)+e^(-x/a) dx
 =a(e^(x1/a)-e^(-x1/a))
となります

お便り２００４／７／２５
from=juin

弧の長さL=∫√(1+(y')^2)dxとなる。
y'=(a/2)(e^(x/a)/a-e^(-x/a)/a)=(1/2)(e^(x/a)-e^(-x/a))
(y')^2=(1/4)(e^(2x/a)-2+e^(-2x/a))
1+(y')^2=(1/4)(e^(2x/a)+2+e^(-2x/a))=[(1/2)(e^(x/a)+e^(-x/a)]^2
L=∫(1/2)(e^(x/a)+e^(-x/a))dx=(1/2)[ae^(x/a)-ae^(-x/a)]
=a[e^(x1/a)-e^(-x1/a)]