質問<1816>2004/7/20
y=(a/2)(e^(x/a)+e^(-x/a))のカテナリーとよばれる図形において x=-x1からx=x1までの弧の長さを求めよ という問題を学校でだされたのですが (大学に入ってから詳しくやるといわれましたが) わかりません。どうかご教授ください
お便り2004/7/25
from=UnderBird
UnderBirdです。 x=aからx=bまでのy=f(x)の曲線の長さlは、 l=∫_a^b √{1+(y')^2}dx で求めます。 y=(a/2)(e^(x/a)+e^(-x/a))のとき、 y'=(1/2)(e^(x/a)-e^(-x/a)) 1+(y')^2=(1/4)(e^(2x/a)+2+e^(-2x/a))={(e^(x/a)+e^(-x/a))/2}^2より √{1+(y')^2}=(e^(x/a)+e^(-x/a))/2 また、偶関数より l=2∫_0^x1 (e^(x/a)+e^(-x/a))/2 dx =∫_0^x1 e^(x/a)+e^(-x/a) dx =a(e^(x1/a)-e^(-x1/a)) となります
お便り2004/7/25
from=juin
弧の長さL=∫√(1+(y')^2)dxとなる。 y'=(a/2)(e^(x/a)/a-e^(-x/a)/a)=(1/2)(e^(x/a)-e^(-x/a)) (y')^2=(1/4)(e^(2x/a)-2+e^(-2x/a)) 1+(y')^2=(1/4)(e^(2x/a)+2+e^(-2x/a))=[(1/2)(e^(x/a)+e^(-x/a)]^2 L=∫(1/2)(e^(x/a)+e^(-x/a))dx=(1/2)[ae^(x/a)-ae^(-x/a)] =a[e^(x1/a)-e^(-x1/a)]