質問<1818>2004/7/20
無限数列{a_n}を a_1=c , a_n+1=(a_n^2-1)/n (n≧1) で定める。ここでcは定数とする。 (1)c=2のとき、一般項a_nを求めよ。 (2)c≧2ならば、lima_n=∞(n→∞)になることを示せ。 (3)c=√2のとき、lima_n(n→∞)の値を求めよ。 (2)(3)をお願いします。
お便り2004/7/26
from=風あざみ
(2) 数学的帰納法でa_n≧n+1を示す。 a_1=c≧2だから正しい。 n=kのときa_k≧k+1と仮定すると a_(k+1)={(a_k)^2-1}/k≧{(k+1)^2-1}/k=k+2となるので、n=k+1のときも正しい。 よって数学的帰納法より任意の自然数nに対して a_n≧n+1となる。 よって n→∞のときa_n→∞となる。 (3) a_2=(2-1)/2=1/2 ここでn≧2のとき|a_n|<1となることを示す。 数学的帰納法で示す。 n=2のときa_2=1/2 n=k(≧2)のとき正しいと仮定すると |a_k|<1 |a_(k+1)|=|1-(a_k)^2|/k<1/k<1となるからn=k+1のときも正しい。 よってn≧2なる任意の自然数nに対して|a_n|<1となることがわかる。 よって、nをn≧3なる任意の自然数とすると 0≦|a_n|=|1-{a_(n-1)}^2|/(n-1)<1/(n-1)となる。 n→∞とおくと1/(n-1)→0となるから n→無限大となるとき、a_n→0となる。