質問<1831>2004/8/1
初めまして。 解答の無い院試問題に悩んでおります。 微積分学の問題で、2問よろしくお願いします。 ①sinxy=1/3 の時、d^2y/dx^2 の値は? ②積分 ∫1/(x^2+a)dx の値は?(aは定数) 高校数学の問題ではないのですが、宜しくお願いします。
お便り2004/8/3
from=UnderBird
from UnderBird 1問目は、強引にxy=arcsin(1/3)より、y={arcsin(1/3)}/xを2階微分しても 求められますが、 陰関数の微分を用いることを求めているとおもわれるので F(x,y)=sin(xy)-1/3のとき dy/dx=y'=-F_x/F_y d^2y/dx^2=y''=-{F_xx+2(F_xy)y'+(F_yy)(y')^2}/F_y より、y''=2y/x^2 2問目は、a<0のときとa≧0の場合に分けて考える。 a<0のとき、∫1/(x^2+a) dx=(1/2√(-a))∫1/{(x-√(-a))-1/(x+√(-a)) =(1/2√(-a))log|{x-√(-a)}/{x+√(-a)}| a≧0のとき、∫1/(x^2+a) dx=∫1/(x^2+(√a)^2) dx =(1/√a)arctan(x/√a)