質問<1846>2004/8/5
どうしてもわからないので質問します。 問題文は、 「円に内接する四角形ABCDで、AB=1、BC=2、CD=3、DA=4のとき、この四角形の 面積を求めよ。」です。 円の半径がわかれば答えがわかるような式は出来たのですが、どうしても半径 がわかりません。 もしかすると、半径なんかを考えずに答えがわかるかもしれないのですが、ほ かの方法は思いつきません。 たぶん、ベクトルの何かを使うんだと思います。 どんなやり方でもかまいませんのでとき方を教えてください。お願いします。 ちなみに、答えはわかりません。
お便り2004/8/7
from=wakky
思いつくままにやってみました。 ベクトルは使いませんでした(笑 まず、円に内接する四角形の対角の和は180°であることはいいでしょうか? 次に、三角関数をつかった三角形の面積と余弦定理を理解している前提で解答します。 四角形ABCDの面積をSとします。 ∠ABC=θとすると △ABC=(1/2)AB・ACsinθ =(1/2)×1×2×sinθ =sinθ △DAC=(1/2)DA・DCsin(180°-θ) =(1/2)×4×3sin(180°-θ) =6sin(180°-θ) =6sinθ S=△ABC+△DACだから S=7sinθ・・・① 次に、AC=tとおいて △ABCにおいて、余弦定理から t^2=(AB)^2+(BC)^2-2AB・BCcosθ =1+4-4cosθ よって cosθ=(5-t^2)/4・・・② △DACにおいて、余弦定理から (途中計算省略) cosθ=(t^2-25)24・・・③ ②③から t^2=55/7 これを②に代入して cosθ=-5/7 sinθ=√(1-cos^2θ) =√{1-(25/49)} =√(24/49) =2√6/7 従って①より S=7sinθ=2√6・・・(答)
お便り2004/8/7
from=○○
∠CDA=:t と置くと、∠ABC=π-t より、 3^2+4^2-2*3*4*cos(t) = 1^2+2^2+2*1*2*cos(t) 従って cos(t)=5/7 。 sin(t)=sin(π-t)=2*Sqrt(6)/7 より、面積は (1/2)*3*4*sin(t)+(1/2)*1*2*sin(π-t) = 2*Sqrt(6) 。
お便り2004/8/9
from=たじすけ
wakkyさん、わかりやすい回答ありがとうございます。 なんとなくわかりはするのですがあの回答でわからないところがあります。 wakkyさんは、△DACとおいていましたが、△CADとおいてはいけないのでしょうか? また、△DACに対する余弦定理で省略しているところがありますが、 なぜあの答えになるのか教えていただけませんか? 自分なりに解きなおしたらどうも答えが一致しません。 再度、教えてください。 お願いします。
お便り2004/8/9
from=wakky
まず△DACと△CADは同じ三角形です。 まぁ、△ABCと言ったので、余弦定理の対象となる角と頂点の位置関係から すると、△BCAと言うべきだったかもしれませんね。 そうすると△DACと角と頂点の位置関係が一致しますね。 そこまで厳格にはとらえませんでした。 (途中計算省略)の部分は △DACにおいて、余弦定理から t^2=(DA)^2+(DC)^2-2・DA・DC・cos(180°-θ) =16+9+24cos(180°-θ) =25-24cosθ ※【cos(180°-θ)=-cosθですから】 従って cosθ=(t^2-25)/24 【割り算を意味する/が抜けていましたね(汗) もしそれで混乱させたのなら、ごめんなさい。】