質問＜１８５５＞２００４／８／６
from=オレンジ
「整数問題」

a,b,p,qはすべて自然数で、
(p^2+q^2)/a＝pq/b
を満たしている。aとbの最大公約数が１のとき以下の問いに答えよ。
(１)pqはbで割り切れることを示せ。
(２)√(a+2b)は自然数であることを示せ。
です。(２)をお願いします。

お便り２００４／８／７
from=○○

  題意から d:=(p^2+q^2,pq) と置けば a=(p^2+q^2)/d, b=pq/d.
  従って d が平方数であることを示せばよい。
  k:=(p,q) と置き、p':=p/k, q':=q/k と置く。
  実は d=k^2 であることを示す。
  (p'^2+q'^2,p'q')=(p'q',(p'+q')^2)=e＞1 と仮定する。
  e の素因子の一つを r と置くと、排他的に r|p' または r|q'.
  r|(p'+q')^2 より r|(p'+q') これは矛盾である。