質問<1858>2004/8/7
xy平面上の領域 (x-r)^2+(y-s)^2≦1/2(r^2+s^2) が格子点が含まないような点(r,s)の存在する範囲を求めよ。 ただし、r≧0、s≧0とする。 また、格子点とは、そのx座標、y座標がともに整数であるような点のことである。
お便り2004/8/9
from=UnderBird
質問<1858>の(x-r)^2+(y-s)^2≦1/2(r^2+s^2)の右辺は、 1/{2(r^2+s^2)}の意味ですか?それとも (r^2+s^2)/2の意味ですか? 題意から見て後者のほうではないかと思いますが・・・。
お便り2004/8/10
from=オレンジ
後者の(r^2+s^2)/2の方です。すいません。お願いします。
お便り2004/8/12
from=UnderBird
from=UnderBird 原点から点(a,b)までの距離r=√(a^2+b^2)のうち格子点を1つも含まないため には、半径rが1/√2未満でなくてはいけない。 (なぜなら、1辺の長さが1の正方形の4頂点を通る円の半径以上は、 中心がどこにあっても必ず、少なくとも1つ以上の格子点を含むからである) よって、 (x-a)^2+(y-b)^2≦(a^2+b^2)/2の半径は√{(a^2+b^2)/2}だから √{(a^2+b^2)/2}<1/√2 でなくてはならない(必要条件) すなわち、 a^2+b^2<1から 円の中心(a,b)は原点中心半径1の円の内部である。 この条件の中で、円の半径は、原点から点(a,b)までの距離が大きくなるに したがって大きくなるので 円内に格子点を含む可能性のあるのは4点(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)であり。 これが、(x-a)^2+(y-b)^2≦(a^2+b^2)/2に含まれなければよい。 よって、 a^2+b^2>(a^2+b^2)/2 (1-a)^2+b^2>(a^2+b^2)/2 a^2+(1^b)^2>(a^2+b^2)/2 (1-a)^2+(1-b)^2>(a^2+b^2)/2 を満たせばよい。 よってa>=0,b>=0から それぞれ、以下の条件を満たす領域が求めるものである。 a=b=0を除く (a-2)^2+b^2>2 a^2+(b-2)^2>2 (a-2)^2+(b-2)^2>4