質問＜１８５８＞２００４／８／７
from=オレンジ
「格子点」

ｘｙ平面上の領域
(x-r)^2+(y-s)^2≦1/2(r^2+s^2)
が格子点が含まないような点(r,s)の存在する範囲を求めよ。
ただし、r≧0、s≧0とする。
また、格子点とは、そのx座標、y座標がともに整数であるような点のことである。

お便り２００４／８／９
from=UnderBird

質問＜１８５８＞の(x-r)^2+(y-s)^2≦1/2(r^2+s^2)の右辺は、
1/{2(r^2+s^2)}の意味ですか？それとも
(r^2+s^2)/2の意味ですか？
題意から見て後者のほうではないかと思いますが・・・。

お便り２００４／８／１０
from=オレンジ

後者の(r^2+s^2)/2の方です。すいません。お願いします。

お便り２００４／８／１２
from=UnderBird

from=UnderBird
原点から点(a,b)までの距離r=√(a^2+b^2)のうち格子点を１つも含まないため
には、半径rが1/√2未満でなくてはいけない。
（なぜなら、1辺の長さが１の正方形の４頂点を通る円の半径以上は、
中心がどこにあっても必ず、少なくとも１つ以上の格子点を含むからである）
よって、
(x-a)^2+(y-b)^2≦(a^2+b^2)/2の半径は√{(a^2+b^2)/2}だから
√{(a^2+b^2)/2}＜1/√2　でなくてはならない(必要条件）
すなわち、
a^2+b^2＜1から
円の中心(a,b)は原点中心半径1の円の内部である。
この条件の中で、円の半径は、原点から点(a,b)までの距離が大きくなるに
したがって大きくなるので
円内に格子点を含む可能性のあるのは4点(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)であり。
これが、(x-a)^2+(y-b)^2≦(a^2+b^2)/2に含まれなければよい。
よって、
a^2+b^2>(a^2+b^2)/2
(1-a)^2+b^2>(a^2+b^2)/2
a^2+(1^b)^2>(a^2+b^2)/2
(1-a)^2+(1-b)^2>(a^2+b^2)/2
を満たせばよい。

よってa>=0,b>=0から
それぞれ、以下の条件を満たす領域が求めるものである。
a=b=0を除く
(a-2)^2+b^2>2
a^2+(b-2)^2>2
(a-2)^2+(b-2)^2>4