質問<1873>2004/8/18
{(1+sinθ+icosθ)/(1+sinθ-icosθ)}^n=cosn(90°-θ)+isinn(90°-θ) を証明せよ。(nは正整数をする) という問題を教えてくださる方、お願いしたいのですが・・・。 ★希望★完全解答★
お便り2004/8/19
from=wakky
x=90°-θ とおくと θ=90°-x sin(90°-x)=cosx , cos(90°-x)=sinx だから 1+sinθ+icosθ=1+cosx+isinx 1+sinθ-icosθ=1+cosx-isinx (1+sinθ+icosθ)/(1+sinθ-icosθ) =(1+sinθ+icosθ)^2/(1+sinθ-icosθ)(1+sinθ+icosθ) ={cos^2x+cosx+isinx(1+cosx)}/(1+cosx) ={cosx(1+cosx)+isinx(1+cosx)}/(1+cosx) =cosx+isinx よって ド・モアブルの定理から 左辺=(cosx+isinx)^n=cos(nx)+isin(nx) =cos{n(90°-θ)}+isin{n(90°-θ)} (証明終わり)