質問＜１８７３＞２００４／８／１８
from=わんこ
「複素数の証明」

{(1+sinθ+icosθ)/(1+sinθ-icosθ)}^n=cosn(90°-θ)+isinn(90°-θ）
を証明せよ。（nは正整数をする）

という問題を教えてくださる方、お願いしたいのですが・・・。

★希望★完全解答★

お便り２００４／８／１９
from=wakky

x=90°-θ　とおくと　θ=90°-x
sin(90°-x)=cosx , cos(90°-x)=sinx だから
1+sinθ+icosθ=1+cosx+isinx
1+sinθ-icosθ=1+cosx-isinx

 (1+sinθ+icosθ)/(1+sinθ-icosθ)
=(1+sinθ+icosθ)^2/(1+sinθ-icosθ)(1+sinθ+icosθ)
={cos^2x+cosx+isinx(1+cosx)}/(1+cosx)
={cosx(1+cosx)+isinx(1+cosx)}/(1+cosx)
=cosx+isinx
よって
ド・モアブルの定理から
左辺=(cosx+isinx)^n=cos(nx)+isin(nx)
   =cos{n(90°-θ)}+isin{n(90°-θ)}
             　　　　　　　　　　　（証明終わり）