質問＜１８８３＞２００４／８／２２
from=takuto
「積分法　面積の解法」

先日は積分のアドバイスありがとうございました。
さて、今回は面積の問題の計算結果がなかなか解答にあわないので、
明確な過程と解答を教えてもらいたいです。
よろしくお願いします。

問題
x軸上の点(1/2，0)から曲線y=xe~xにひいた2本の接線と曲線とで
囲まれた図形の面積を求めよ

★希望★完全解答★

お便り２００４／８／２５
from=wakky

はっきり言って計算に自信ありません（汗
解答の結果が書いてあれば、確認できるんですけど
解き方は概ねいいだろうと思いますので書いてみました。

まず、y=xe^x　をxで微分して
グラフの増減表を作ります（省略）
そうすると
原点を通り、x＜-1で減少　x>-1で増加
x=-1のとき極小値-1/eとなることが分かります。
これでだいたいのグラフの形が見えてきます。
そこで点(1/2,0)からは確かに２本の接線が引けそうだということも
見えてきます。

そこで、点(1/2,0)を通る直線とこの曲線の接点を
(t,te^t)と置きます。
そうするとこの接線の方程式は
y'=e^x(x+1)だから
y=e^t(t+1)(x-t)+te^t　となります。
この接線が点(1/2,0)を通るから
x=1/2 y=0　を代入して整理すると
e^t(2t+1)(t-1)=0
e^t>0　だから　t=-1/2，1
これで接点のふたつのx座標が求まりました。
あとはこつこつ積分計算するだけです。
この計算に自信がない・・・（汗）

積分に際して、曲線y=xe^x　と　直線y=(-1/2)e^(-1/2)
と　直線x=1　に囲まれた部分を先に計算すると
(9/4)e^(-1/2)となって、
あとは余分な三角形と台形の面積を引くと
(3/2)e(-1/2)-e/4　が答になりました・・・あってるかなぁ？