質問＜１８８４＞２００４／８／２２
from=数楽好き
「２つの２次関数の交点」

　初めて利用させていただきます。よろしくお願いします。
　問題
　２つの２次関数y=-x2+5x,y=-2x2-ax+a2（aは0でない定数）のグラフは，
交点を２つもつことを示せ。また，２つの交点のy座標が両方とも負となる
aの値の範囲を求めよ。

２つの交点を持つことは、２つの２次関数の式を連立させた式のＤがＤ＞0と
なることからわかったのですが、後半部分の２つの交点のy座標が両方とも負
となるaの値の範囲を求めよ。のところがさっぱりわかりません。
どうかよろしくお願いします。
★希望★完全解答★

お便り２００４／８／２７
from=UnderBird

from UnderBird

y=-x^2+5x と y=-2x^2-ax+a^2 の交点を求める。
x^2+(a+5)x-a^2=0
この判別式がＤ>0より異なる2点で交わることがわかります。（確認済み）
この実数解をα、βとおくと解と係数の関係から
α＋β=－（a+5）
αβ=－a^2
また、交点のy座標は-α^2+5α，‐β^2+5β　である。
ここで、Ａ、Ｂが実数ならば、Ａ＜０、Ｂ＜０⇔Ａ＋Ｂ＜０、ＡＢ＞０を利用する。

(-α^2+5α)+(‐β^2+5β)=-(α＋β)^2+2αβ+5(α＋β)=-3a^2-15a-50
(-α^2+5α)(‐β^2+5β)=αβ{αβ‐5(α＋β)+25}=a^2(a^2-5a-50)
よって、
-3a^2-15a-50＜0
a^2(a^2-5a-50)＞0
をとく。このときa≠0に注意して、
3a^2+15a+50＞0はすべての実数a(a≠0)
a^2(a^2-5a-50)＞0はa^2＞0よりa^2-5a-50＞0を解いて、a＜-5,a＞10
以上より、a＜-5,a＞10