質問＜１９１１＞２００４／９／１
from=ゆうや
「集合」

①３個の異なる要素から成る集合について、
　それぞれの長所と短所を明確にして解説せよ。
②ｎ個の異なる要素からなる集合の部分集合は、
　いくつであると予想できるか。
③②の予想が正しいことを証明せよ。

★希望★完全解答★

お便り２００４／９／１
from=wakky

集合の要素の長所・短所ってなんですか？

お便り２００４／９／４
from=ゆうや

①３個の異なる要素から成る集合の部分集合の個数を
　求めよ。
②ｎ個の異なる要素からなる集合の部分集合は、
　いくつであると予想できるか。
③②の予想が正しいことを証明せよ。
　失礼しました。よろしくお願いします。

お便り２００４／９／６
from=wakky

①
３個の要素を持つ集合を
｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝とでもしましょう。
それぞれの要素を部分集合に入れることを○入れないことを×と表すこと
にします。
つまり空集合＝｛×××｝，｛Ａ｝＝｛○××｝｛Ａ，Ｃ｝＝｛○×○｝
ということです。
そうするとどうでしょうか？
○と×を重複を許して３個並べる場合の数に等しくなりませんか？
つまり２×２×２＝８個となります。

②
これは容易に　２^nと予想できますね。

③
どういうアプローチがいいのかなぁ？

（その１）
ｎ個の要素からなる集合の部分集合の個数をＳ(n)とする。
Ｓ(n)＝２^nを証明する。
要素が１個の場合は部分集合は空集合と全体集合しかないから２個で、
Ｓ(1)＝２となり成り立つ。
ｎ＝ｋのとき成り立つと仮定する。
すなわちＳ(k)＝２^kと仮定する。
要素の数がｋ＋１の集合の場合、最初のｋ個だけでつくられる部分集合の数は
２^k個であり、そのそれぞれに対してｋ＋１個目の要素が入るか入らないかの
２通りあるから、
Ｓ(k+1)＝２^k×２＝２Ｓ(k)＝２^(k+1)となる。
よって、ｎ＝ｋ＋１のときも成り立つ。
こんなんでいいのかなぁ？それからＳ(0)＝１を言っておいた方がいいかも
しれません。

（その２）
ｎ個の要素からなる集合の部分集合の要素の数は、０からｎまでの整数値をとる。
０≦ｋ≦ｎである整数ｋに対して、要素の数がｋ個である部分集合の数は　
ｎ個の中からｋ個を取り出す組み合わせに等しく、nＣk個である。
したがって、部分集合の数は
nＣ0＋nＣ1＋nＣ2＋・・・＋nＣn　である。
これは２項展開（１＋１）^n　そのものである。
つまり
nＣ0＋nＣ1＋nＣ2＋・・・＋nＣn＝２^n

こんな感じでいいんですかねぇ？