質問<1915>2004/9/1
①方程式2log(底2)x - 3log(底x)2+5=0を解け。 ②方程式x^logx=1000x^2を解け。 ③log(2x)・log(3x)=1を満たすXの値は2つすることを 示し、それらの積の値を求めよ。(logは常用対数と する) ④log(底4)k=log(底2)6+1のとき (log底k X)(log底2 K/9)=2 を満たすxの値を求めよ。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2004/9/3
from=wakky
(1) まず底を2に変換して log_x(2)=log_2(2)/log_2(x)=1/log_2(x) ここで log_2(x)=t とおくと t≠0 2t-(3/t)+5=0 2t^2+5t-3=0 (t+3)(2t-1)=0 t=-3,1/2 log_2(x)=-3,log_2(x)=1/2 よって x= 1/8 , √2 (2) 両辺の常用対数をとると log(x^logx)=log1000x^2 (logx)^2=3+2logx logx=tとおくと t^2-2t-3=0 (t+1)(t-3)=0 t=-1,3より logx=-1,logx=3 よって x= 1/10 , 1000 (3) log2xlog3x=1・・・① より (log2+logx)(log3+logx)=1 (logx)^2+(log2+log3)logx+log2log3-1=0 logx=Xとおくと X^2++(log2+log3)X+log2log3-1=0・・・② ②が異なる二つの解を持てばよいから判別式をDとすると D=(log2+log3)^2-4(log2log3-1) =(log3-log2)^2+4>0 よって①は異なる二つの解をもつ。 また、②の二つの解を X=α,βとして logA=α,logB=β とおくと A,Bは①のふたつの解である。 このとき A=10^α,B=10^β AB=10^(α+β) ここでα+β=-(log2+log3)=-log6だから AB=10^(-log6) よってAB=1/6 以上から、①を満たすxの値は二つあり、その積は1/6である。 (4) log_4(k)=log_2(6)+1・・・① {log_k(x)}{log_2(k/9)}・・・② ①より、底を変換して log_2(k)=2log_2(3)+4・・・③ ③より log_k(x)={log_2(x)}/{log_2(k)} ={log_2(x)}/{2log_2(3)+4}・・・④ log_2(k/9)=2log_2(3)+4-2log_2(3)=4・・・⑤ ④⑤を②に代入してlog_2(x)について解くと log_2(x)=log_2(12) よって、x=12