質問＜１９１５＞２００４／９／１
from=ゆうや
「対数」

①方程式2log(底2)x - 3log(底x)2+5=0を解け。
②方程式x^logx=1000x^2を解け。
③log(2x)・log(3x)=1を満たすXの値は2つすることを
　示し、それらの積の値を求めよ。(logは常用対数と
　する）
④log(底4)k=log(底2)6+1のとき
　(log底k X)(log底2　K/9)=2
　を満たすｘの値を求めよ。

よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００４／９／３
from=wakky

（１）
まず底を２に変換して
log_x(2)=log_2(2)/log_2(x)=1/log_2(x)
ここで log_2(x)=t とおくと　t≠0
2t-(3/t)+5=0
2t^2+5t-3=0
(t+3)(2t-1)=0
t=-3,1/2
log_2(x)=-3,log_2(x)=1/2
よって
x= 1/8 , √2

（２）
両辺の常用対数をとると
log(x^logx)=log1000x^2
(logx)^2=3+2logx
logx=tとおくと
t^2-2t-3=0
(t+1)(t-3)=0
t=-1,3より
logx=-1,logx=3
よって　x= 1/10 , 1000

（３）
log2xlog3x=1・・・①　より
(log2+logx)(log3+logx)=1
(logx)^2+(log2+log3)logx+log2log3-1=0
logx=Xとおくと
X^2++(log2+log3)X+log2log3-1=0・・・②
②が異なる二つの解を持てばよいから判別式をDとすると
D=(log2+log3)^2-4(log2log3-1)
 =(log3-log2)^2+4>0
よって①は異なる二つの解をもつ。
また、②の二つの解を　X=α，βとして
logA=α，logB=β　とおくと
A,Bは①のふたつの解である。
このとき
A=10^α，B=10^β
AB=10^(α+β)
ここでα+β=-(log2+log3)=-log6だから
AB=10^(-log6)
よってAB=1/6
以上から、①を満たすxの値は二つあり、その積は1/6である。

（４）
log_4(k)=log_2(6)+1・・・①
{log_k(x)}{log_2(k/9)}・・・②
①より、底を変換して
log_2(k)=2log_2(3)+4・・・③
③より
log_k(x)={log_2(x)}/{log_2(k)}
        ={log_2(x)}/{2log_2(3)+4}・・・④
log_2(k/9)=2log_2(3)+4-2log_2(3)=4・・・⑤
④⑤を②に代入してlog_2(x)について解くと
log_2(x)=log_2(12)
よって、x=12