質問<192>99/11/5
先生はじめまして。 はじめて記入させていただきます。 さっそく質問させていただきますと、 無限等比級数の和の公式はどういうもので、 どのように導出されるのでしょうか? 経済学で初歩的な数学を使うのですが、 私は生っ粋の文系なため、 レベルの低いところからご教授いただければ、 幸いに思います。 では失礼いたしました。
お返事99/11/7
from=武田
無限等比級数の和をS=a+ar+ar2+ar3+…… とすると、初項から第n項までの和をSnとしたとき、 S=lim Sn n→∞ となる。 したがって、Snを求めてから極限を考えればよい。 Sn=a+ar+ar2+ar3+……+arn-1 この式の両辺にrを掛けて r・Sn=ar+ar2+ar3+ar4+……+arn 2式を上から下を引いて、 (1-r)Sn=a-arn a(1-rn) Sn=──────── (1-r) したがって S=lim Sn n→∞ を計算するためには、次のように場合分けをする。 (1)r>1のとき、lim rn=∞ n→∞ (2)r=1のとき、lim rn=1 n→∞ (3)-1<r<1のとき、 lim rn=0 n→∞ (4)r≦-1のとき、 lim rn=振動 n→∞ したがって、 -1<r<1のときのみ極限があるから、 a S=───── (ただし、-1<r<1)……(答) (1-r)