質問<1936>2004/9/6
曲線f(x,y)=x^2*y-x*y^2-2=0のグラフを書け。 どこから手をつけていいかわかりません。 どなたか教えてください。 ★希望★完全解答★
お便り2004/9/9
from=wakky
思いついたことだけ書かせて頂きます。 x^2*y-x*y^2-2=0をyについての二次方程式と見て y=・・・・の形に強引ですけどしてみてはどうかなぁ? 二次方程式の解の公式をつかって途中までやってみましたけど なんかすっきりしません・・・・
お便り2004/9/12
from=mama
y=・・・・で強引に解こうと思ったのですが うまい具合に解けません。 どなたか教えていただけませんか?
お便り2004/9/26
from=naoya
感想:難しくない、でも計算にかなり時間がかかりました・・・ 計算式が面倒なので多数の計算を省略します。 ご自分で一度計算はやってみてください。 問 f(x,y)=yx^2-xy^2-2=0 のグラフをかけ. 式をyの関数と見ると, -xy^2+(x^2)y-2=0. ・・・① ①式にx=0を代入すると-2=0となり矛盾するから, x≠0. ・・・② yは実数(じゃ無いと高校生の自分はグラフかけない)なので,①式において, (判別式)=x^4-8x≧0 ⇔ (計算略) ⇔ x≦0, 2≦x. ②より, x<0, 2≦x. ・・・③ ①を解の公式で解くと, y=(計算略)=x{1±√[1-8/(x^3)]}/2 となる. (i) y=x{1+√[1-8/(x^3)]}/2 について. xについて微分すると, dy/dx=(計算略)=1/2+{2+8/(x^3)}/{4√[1-8/(x^3)]}. 8/(x^3)=t とおくと(t≠0), ③ ⇔ (計算略) ⇔ t<0, 0≦t≦1. (t≠0) ゆえに, t<0, 0<t≦1 ・・・④ ∴dy/dx=1/2+(2+t)/{4√[1-t]}. dy/dx=0 ⇔ 2√[1-t]+2+t=0. (計算略) ∴t=0,-8. 適するのは, t=-8. (y=2√[1-t]のグラフとy=2+tのグラフを考えることによりdy/dxの符号が分かる.) t<-8のとき dy/dx<0, t=-8のとき dy/dx=0, -8<t<0, 0<t<1のとき dy/dx>0, t=1のとき dy/dxは存在しない. (t<-8などといったtの範囲をt=8/(x^3)におき直してxの範囲に直すと) x<-1のとき dy/dx>0, x=-1のとき dy/dx=0, -1<x<0のとき dy/dx<0, x=2のとき dy/dxは存在しない, 2<xのとき dy/dx>0. 8=tx^3より, 0=(dt/dx)x^3+3tx^2. ∴dt/dx=(計算略)=-3t^(4/3)/2. d^2y/dx^2=(計算略)=(dt/dx)(4-t)/{8(1-t)^(3/2)}. (dt/dx<0だから,y=4-t,y=1-tのグラフを考えるとd^2y/dx^2の符号が分かる.) t<0, 0<t<1のとき d^2y/dx^2<0, t=1のとき d^2y/dx^1は存在しない. (xの範囲に直すと) x<0, 2<xのとき d^2y/dx^2<0, t=2のとき d^2y/dx^2は存在しない. (次にがんばって極限を求める.) y→+∞ (x→+∞), y→-∞ (x→-∞), y→-∞ (x→-0) (さらに漸近線を求めにいく.) 先ほど求めた極限より、x=0が漸近線. y/x→1 (x→±∞), y-x→0 (x→±∞)より、y=xが漸近線. (ii) y=x{1-√[1-8/(x^3)]}/2 について. xについて微分すると, dy/dx=(計算略)=1/2-{2+8/(x^3)}/{4√[1-8/(x^3)]} =1/2-(2+t)/{4√[1-t]}. (y=2√[1-t]のグラフとy=-2-tのグラフを考えることに よりdy/dxの符号が分かる.) t<0のとき dy/dx>0, 0<t<1のとき dy/dx<0, t=1のとき dy/dxは存在しない. (xの範囲に直すと) x<0のとき dy/dx>0, x>2のとき dy/dx<0, x=2のとき dy/dxは存在しない. d^2y/dx^2=(計算略)=-(dt/dx)(4-t)/{8(1-t)^(3/2)}. (-dt/dx>0だから,y=4-t,y=1-tのグラフを考えるとd^2y/dx^2の符号が分かる.) t<0, 0<t<1のとき d^2y/dx^2>0, t=1のとき d^2y/dx^1は存在しない. (xの範囲に直すと) x<0, 2<xのとき d^2y/dx^2>0, t=2のとき d^2y/dx^2は存在しない. (極限を求める.) y→0 (x→±∞), y→+∞ (x→-0) ゆえに、漸近線はy=0, x=0 (i),(ii)を参考に、グラフを描く. (グラフ略) x=2におけるグラフの接続点で接線が引けるような接続の仕方なのか どうかは①をxについて解いて微分してみると分かりますが、 そこまでしなくても良いでしょう。