質問<1966>2004/9/26
空でない任意の集合Aから、Aのべき集合PAの上への関数Fが存在しない ことを証明せよ。 ★希望★完全解答★
お便り2004/9/27
from=juin
Aのべき集合PAは{f|f:A->{0,1}}と表される。 F:A->PAが存在したとする。このとき、PAの要素gで次のものをかんがえる。 g:A->{0,1},g(a)=1-F(a)(a) 任意のa∈Aに対して、g≠F(a)だからFは上への写像では無い。
お便り2004/9/28
from=UnderBird
背理法による。 いま、全射f:X→P(X)が存在すると仮定する。Xの任意の元xのfによる像f(x)はXの 1つの部分集合である。 それゆえ、f(x)はxを含むか含まないかのどちらかである。そこで”f(x)が元xを含 まない”という性質をもつ元x∈Xの全体、すなわち集合 A={x|x∈X,x∈* f(x)} ・・・記号∈*は∈の否定、元ではないの意味 を考える。AはXの1つの部分集合であるから、A∈P(X). 仮定よりfは全射で、したがってf(a)=AとなるようなXの元aが存在する。 このとき、a∈Aかまたはa∈* Aである。 a∈Aとすると、Aの定義からa∈* f(a)であるが、このことはf(a)=A∋aに矛盾する。 a∈* Aとすると、aは”a∈* f(a)”を満足しないから、a∈Aであるが、 このことはf(a)=A∋* aに反する。 いずれにしても矛盾が生じる。 したがって全射X→P(X)は存在しない。