質問＜１９６６＞２００４／９／２６
from=Feynman
「べき集合の濃度」

空でない任意の集合Ａから、Ａのべき集合ＰＡの上への関数Ｆが存在しない
ことを証明せよ。

★希望★完全解答★

お便り２００４／９／２７
from=juin

Aのべき集合PAは{f|f:A->{0,1}}と表される。
F:A->PAが存在したとする。このとき、PAの要素gで次のものをかんがえる。
g:A->{0,1},g(a)=1-F(a)(a)
任意のa∈Aに対して、g≠F(a)だからFは上への写像では無い。

お便り２００４／９／２８
from=UnderBird

背理法による。
いま、全射f：X→P(X)が存在すると仮定する。Xの任意の元xのfによる像f(x)はXの
１つの部分集合である。
それゆえ、f(x)はxを含むか含まないかのどちらかである。そこで”f(x)が元xを含
まない”という性質をもつ元x∈Xの全体、すなわち集合
A={x|x∈X，x∈* f(x)} 　･･･記号∈*は∈の否定、元ではないの意味
を考える。AはXの1つの部分集合であるから、A∈P(X).
仮定よりfは全射で、したがってf(a)=AとなるようなXの元aが存在する。
このとき、a∈Aかまたはa∈* Aである。
a∈Aとすると、Aの定義からa∈* f(a)であるが、このことはf(a)=A∋aに矛盾する。
a∈* Aとすると、aは”a∈* f(a)”を満足しないから、a∈Aであるが、
このことはf(a)=A∋* aに反する。
いずれにしても矛盾が生じる。
したがって全射X→P(X)は存在しない。