質問＜１９７０＞２００４／９／２８
from=Tukky
「関数の決定」

　以前次の２題についてアドバイスがされていましたが、解答までのプロセスが
なく、どのようにして解けばいいのか全然わかりません。
どうかよろしくお願いします。

問１：曲線y=f(x)は点（２，1/2）を通り、かつ曲線上の任意の点（x，y）に
おける接線は点（x^2，２y）を通るという。このような曲線y=f(x)を求めよ。

問２：曲線y=f(x)上の点Ｐ（x，y）からx軸へ下ろした垂線の足をＱとし、
曲線とy軸との交点をＲとするとき、領域ＯＱＰＲの面積が曲線ＲＰの長さに
等しいという。このような曲線y=f(x)を求めよ。ただし、Ｏは原点である。

★希望★完全解答★

お便り２００４／９／２９
from=juin

(1)
1/2=f(2)
(x,y)における接線はY-y=f'(x)(X-x)
(X,Y)=(x^2,2y)を代入して、2y-y=f'(x)(x^2-x)
y=f'(x)(x^2-x)ここで、y=f(x)を代入すると、
f(x)=f'(x)(x^2-x)
1/(x^2-x)=f'(x)/f(x)
[1/(x-1)-1/x]=f'(x)/f(x)これを積分して、
log|x-1|-log|x|+C=log|f(x)|
log|(x-1)/x|+C=log|f(x)|
[(x-1)/x]e^c=f(x)ここでk=e^cとする。
f(x)=k(x-1)/x
f(2)=k(2-1)/2=1/2より、k=1
よって、f(x)=(x-1)/x