質問＜１９８６＞２００４／１０／３
from=MiNaMiクン
「微分の問題」

x軸上の点Pから放物線y=x^2+1に2本の接線を引き、その接点をQ.Rとする。
点Qの座標を(t,t^2+1)とおくとき、次の問に答えよ。ただし、t>0とする。
(1)点Pの座標をｔで表せ。
(2)点Rの座標をｔで表せ。
(3)△PQRの面積を求めよ。

宜しくお願いしますっ！！

★希望★完全解答★

お便り２００４／１０／５
from=wakky

(1)
y'＝2xより
点Q(t,t^2+1)における接線の方程式は
y＝2t(x-t)+t^2+1
ここでy＝0とおけば点Pの座標が求まります。
2t(x-t)+t^2+1＝0をxについて解いて
x＝(t^2-1)／2t
よって点Pの座標は（(t^2-1)/2t，0）

(2)
点Rを(a，a^2+1)とおきます。
点Rにおける接線の方程式は
y＝2a(x-a)+a^2+1
この接線は点Pを通るから
x=(t^2-1)／2t，y=0を代入して整理すると
(a-t)(ta+1)＝0
a＝tならば点Qと点Rが一致してしまうので
a≠t　よって　a＝-1/t
このときa^2+1＝(1/t^2)+1
よって点Rの座標は（-1/t，(1/t^2)+1）

(3)
点Q，点Rからx軸に垂線QS，RTを引くと
四角形RTSQはRTとQSが平行な台形になります。
その台形の面積から△PRTと△PQSの面積を引けば
△PQRの面積になります。
これは自分でやってみてください。
結果は計算していません・・・