質問<200>99/12/16
テストからの抜粋です。(一部改) 問)半径 r の球 P に内接する立方体を Q とする。この立方 体 Q に内接する球をP1、P1 に内接する立方体を Q1。この Q1 に内接する球を P2、P2 に内接する立方体を Q2 とし、以 下同様にして、球 P1、P2、P3、・・・を決める。球 Pk の体 積を Vkとするとき、次の2つを求めよ。 Σ from k=1 to n , Vk lim n→∞ (Σ from k=1 to n , Vk)
お返事99/12/18
from=武田
球Pに内接する立方体Q(ABCDEFGH)をAEGCを通るように 切断すると、図2のようになる。立方体Qの一辺をaとする と、AC=(√2)a、AE=aだから、EC=(√3)a このECは球Pの直径ともなるので、2r=(√3)a ∴a=(2/√3)r 図3より、立方体Qに内接する球P1の直径とQの一辺と 長さが一致するので、r1=a/2=(1/√3)r 同様にして、r2=(1/√3)2r 球Pkの体積をVkとすると、 Vk=(4π/3)(rk)3 =(4π/3)((1/√3)kr)3 =(4π/3)(1/√3)3kr3 =(4π/3)r3(1/3√3)k =(4π/3)r3{(√3)/9}k したがって、 n n ΣVk=(4π/3)r3 Σ{(√3)/9}k k=1 k=1 {(√3)/9}【1-{(√3)/9}}n】 =(4π/3)r3×────────────────……(答) 1-{(√3)/9} n lim ΣVk=(4π/3)r3×{(√3)/9}/{1-(√3)/9} n→∞k=1 =(4√3)/{3(9-√3)}×πr3……(答)