質問＜２００＞９９／１２／１６
from=Ryo
「無限級数」

テストからの抜粋です。（一部改）
問）半径 r の球 P に内接する立方体を Q とする。この立方
体 Q に内接する球をP1、P1 に内接する立方体を Q1。この
Q1 に内接する球を P2、P2 に内接する立方体を Q2 とし、以
下同様にして、球 P1、P2、P3、・・・を決める。球 Pk の体
積を Vkとするとき、次の２つを求めよ。

Σ from k=1 to n , Vk
lim n→∞ (Σ from k=1 to n , Vk)

お返事９９／１２／１８
from=武田

球Ｐに内接する立方体Ｑ(ABCDEFGH)をＡＥＧＣを通るように
切断すると、図２のようになる。立方体Ｑの一辺をａとする
と、ＡＣ＝（√２）ａ、ＡＥ＝ａだから、ＥＣ＝（√３）ａ
このＥＣは球Ｐの直径ともなるので、２ｒ＝（√３）ａ
∴ａ＝（２／√３）ｒ
図３より、立方体Ｑに内接する球Ｐ1の直径とＱの一辺と
長さが一致するので、ｒ1＝ａ／２＝（１／√３）ｒ
同様にして、ｒ2＝（１／√３）2ｒ
球Ｐkの体積をＶkとすると、
Ｖk＝（４π／３）（ｒk）3
　　＝（４π／３）（（１／√３）kｒ）3
　　＝（４π／３）（１／√３）3kｒ3
　　＝（４π／３）ｒ3（１／３√３）k
　　＝（４π／３）ｒ3｛（√３）／９｝k
したがって、
n　　　　　　　　　　　　n
ΣＶk＝（４π／３）ｒ3　Σ｛（√３）／９｝k
k=1　　　　　　　　　　k=1
　　　　　　　　　　　{(√3)/9}【1-{(√3)/9}｝n】
＝（４π／３）ｒ3×────────────────……（答）
　　　　　　　　　　　１－｛（√３）／９｝
　　　n
lim　ΣＶk＝（４π／３）ｒ3×{(√3)/9}／{1-(√3)/9}
n→∞k=1

＝（４√3）／｛３（9-√3）｝×πｒ3……（答）