質問

この問題では複素数の偏角はすべて0°以上360°未満とする。
α＝２√２（1＋i)とし、等式|z－α|＝2を満たす複素数zを考える。

(1)zの中で絶対値が最大となるものは(ア)である。

(2)zの中で偏角が最大となるものをβとおくとα/βは(イ)で、
偏角は(ウ)である。またβ＝(エ)+(オ)iである。
さらにβの偏角は(カ)である。
1≦n≦100の範囲で、βのn乗が実数になる整数nは(キ)個ある。

上の問題の解法を出来れば急ぎで教えていただけると助かります。
(1)は解けたのですが(2)の方は(イ)から既にわかりません。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１０／２０
from=juin

(1)
|z-α|=2は、中心α、半径２の円周を表す。原点とαを通る直線が円と交わる点
のうち原点から遠い方の点zの絶対値が最大になる。
|z|=|α|+2=4+2=6

(2)
原点を0とする。△0αβはβが直角となる直角三角形である。
|β|=√(|α|^2-2^2)=2√3
よって|α/β|=4/(2√3)=2√3/3
△0αβは、３辺の比が1:2:√3だから,α/βの偏角は30°

（エ）
β=α*|β/α|*(cos(30°)+i*sin(30°))
　=2√2(1+i)*(√3/2)*(√3/2+i/2)
　=(3√2-√6)/2+((3√2+√6)/2)i

（ウ）
βの偏角は
arg(β)=arg(β/α)+arg(α)
　　　 =30°+45°
　　　 =75°

（イ）
α/β=|α/β|(cos(-30°)+i*sin(-30°))
　　 =(2√3/3)*(√3/2-i/2)
　　 =1-(√3/3)i

（キ）
β=2√3(cos(75°)+i*sin(75°))だから、
β^n=(2^n)(√3)^n*(cos(75°n)+i*sin(75°n))
これが整数だから、nは２の倍数、また、75°nは180°の倍数である。
75°*12=900°よって、nは１２の倍数である。
100÷12=8...4だから８個ある。