質問<2015>2004/10/19
この問題では複素数の偏角はすべて0°以上360°未満とする。 α=2√2(1+i)とし、等式|z-α|=2を満たす複素数zを考える。 (1)zの中で絶対値が最大となるものは(ア)である。 (2)zの中で偏角が最大となるものをβとおくとα/βは(イ)で、 偏角は(ウ)である。またβ=(エ)+(オ)iである。 さらにβの偏角は(カ)である。 1≦n≦100の範囲で、βのn乗が実数になる整数nは(キ)個ある。 上の問題の解法を出来れば急ぎで教えていただけると助かります。 (1)は解けたのですが(2)の方は(イ)から既にわかりません。 ★希望★完全解答★
お便り2004/10/20
from=juin
(1) |z-α|=2は、中心α、半径2の円周を表す。原点とαを通る直線が円と交わる点 のうち原点から遠い方の点zの絶対値が最大になる。 |z|=|α|+2=4+2=6 (2) 原点を0とする。△0αβはβが直角となる直角三角形である。 |β|=√(|α|^2-2^2)=2√3 よって|α/β|=4/(2√3)=2√3/3 △0αβは、3辺の比が1:2:√3だから,α/βの偏角は30° (エ) β=α*|β/α|*(cos(30°)+i*sin(30°)) =2√2(1+i)*(√3/2)*(√3/2+i/2) =(3√2-√6)/2+((3√2+√6)/2)i (ウ) βの偏角は arg(β)=arg(β/α)+arg(α) =30°+45° =75° (イ) α/β=|α/β|(cos(-30°)+i*sin(-30°)) =(2√3/3)*(√3/2-i/2) =1-(√3/3)i (キ) β=2√3(cos(75°)+i*sin(75°))だから、 β^n=(2^n)(√3)^n*(cos(75°n)+i*sin(75°n)) これが整数だから、nは2の倍数、また、75°nは180°の倍数である。 75°*12=900°よって、nは12の倍数である。 100÷12=8...4だから8個ある。