質問<2022>2004/10/23
3つの整数a,b,cが、aの2乗+bの2乗=cの2乗を満たすとき、 a,b,cのうち少なくとも1つは偶数であることを証明せよ。 の問題が分かりません。教えてください。 ★希望★完全解答★
お便り2004/10/24
from=honda
a,b,cのすべてが奇数であるとする 奇数の二乗は奇数であるので a^2+b^2は二つの奇数の和となり偶数 一方,c^2は奇数. これはa^2+b^2=c^2に反する よって, a,b,cの少なくとも一つは偶数である.
お便り2004/10/24
from=wakky
背理法で矛盾を導きます。 a,b,cがすべて奇数であると仮定します。 x,y,zを整数として a=2x+1 b=2y+1 c=2z+1 とおけます。 a^2+b^2=(2x+1)^2+(2y+1)^2 =4(x^2+x+y^2+y)+2 よって a^2+b^2 は偶数。 一方 c^2=(2z+1)^2 =4(z^2+z)+1 よって c^2 は奇数。 a^2+b^2=c^2を満たすのだから 偶数=奇数となって、矛盾する。 感覚的には 偶数+偶数=偶数 奇数+奇数=偶数 偶数+奇数=奇数 偶数の平方は偶数 奇数の平方は奇数 つまり全部奇数では成り立たないということでしょう。