質問＜２０３０＞２００４／１０／２８
from=Recoba
「写像」

すみませんが、よくわかりません。
ご教授お願いします。

Aを有限集合とするとき、次の条件①または②を満たす写像
f:A→Aは、全単射であることを示せ。
①fは単射　②fは全射

★希望★完全解答★

お便り２００４／１０／２９
from=UnderBird

厳密にではありませんが、

Aの要素をa1,a2,a3,....,anとおく。（有限個だから）
写像ｆは単射（1対1）より、ｆ（A)の要素の個数もｎ個である。
これは、値域または終域Aの要素の個数と一致する。
すなわち、全射であることを示す。
よって、全射かつ単射よりｆは全単射であるといえる。

これは、無限個の場合には成り立ちません。
例えば、自然数の集合Nに対して、
ｆ：a→2a　と対応させると、単射ですが全射ではありません。

お便り２００４／１０／２９
from=honda

有限集合Xに対して，n(X)をXの要素の個数とする．

(1)fが単射であるとする
f:A->f(A)
は仮定より全単射．
よって，n(A)=n(f(A))
一方，f(A)はAの部分集合で
Aは有限集合なのでA=f(A)
すなわち，fは全射

(2)fが全射であるとする
f(x)=f(y)とする．
xとyが等しくないとすると，
f(x)に移される異なる要素が少なくとも二つあるので
n(A)>n(f(A))であるが，fは全射であるので
f(A)=Aである．
これは矛盾．
したがって，x=y
よって，fは単射

＃これも明らかに高校数学ではないですね