質問<2030>2004/10/28
すみませんが、よくわかりません。 ご教授お願いします。 Aを有限集合とするとき、次の条件①または②を満たす写像 f:A→Aは、全単射であることを示せ。 ①fは単射 ②fは全射 ★希望★完全解答★
お便り2004/10/29
from=UnderBird
厳密にではありませんが、 Aの要素をa1,a2,a3,....,anとおく。(有限個だから) 写像fは単射(1対1)より、f(A)の要素の個数もn個である。 これは、値域または終域Aの要素の個数と一致する。 すなわち、全射であることを示す。 よって、全射かつ単射よりfは全単射であるといえる。 これは、無限個の場合には成り立ちません。 例えば、自然数の集合Nに対して、 f:a→2a と対応させると、単射ですが全射ではありません。
お便り2004/10/29
from=honda
有限集合Xに対して,n(X)をXの要素の個数とする. (1)fが単射であるとする f:A->f(A) は仮定より全単射. よって,n(A)=n(f(A)) 一方,f(A)はAの部分集合で Aは有限集合なのでA=f(A) すなわち,fは全射 (2)fが全射であるとする f(x)=f(y)とする. xとyが等しくないとすると, f(x)に移される異なる要素が少なくとも二つあるので n(A)>n(f(A))であるが,fは全射であるので f(A)=Aである. これは矛盾. したがって,x=y よって,fは単射 #これも明らかに高校数学ではないですね