質問<2035>2004/11/1
次のf(x)の逆関数y=f^-1(x)を求め、その定義域と値域を明記せよ。 ①y=f(x)=3x^2-6x+5 -2≦x≦1 ②y=f(x)=9^x-6・3^x-1 -1≦x≦1 です。 数学が苦手でまったくわかりません。 導く過程もおしえてください。よろしくお願い致します。 ★希望★完全解答★
お便り2004/11/2
from=wakky
① まず平方完成して y=f(x) =3(x-1)^2+2 -2≦x≦1(これが逆関数の値域になります)より 2≦y≦29(これが逆関数の定義域になります。) (定義域に条件のある二次関数の最大・最小を理解できている前提で進めます) ここで y=3(x-1)^2+2より (x-1)^2=(y-2)/3 ゆえに |x-1|=√{(y-2)/3} -2≦x≦1より x-1≦0 よって -x+1=√{(y-2)/3} x=1-√{(y-2)/3} xとyを入れ替えて y=f^-1(x)=1-√{(x-2)/3} 定義域 2≦x≦29 値域 -2≦y≦1 ② 3^x=tとおくと 1/3≦t≦3(-1≦x≦1だから) y=t^2-6t-1 =(t-3)^2-10 このとき -10≦y≦-26/9 あとは前問と同様に t=3-√(y+10) すなわち 3^x=3-√(y+10) 両辺の、底が3である対数をとると x=log_3{3-√(y+10)} xとyを入れ替えて y=f^-1(x)=log_3{3-√(x+10)} 定義域 -10≦x≦-26/9 値域 -1≦y≦1