質問＜２０４７＞２００４／１１／７
from=うっへ
「微分」

わかりません。教えてください。

曲線√ｘ＋√ｙ＝１上の任意の点（α、β）での接線が
ｘ軸、ｙ軸と交わる点をＰ、Ｑとするとき、次に答えよ。
（１）接線の式をα、βで表わせ。
（２）ＯＰ＋ＯＱ＝１であることを示せ。（Ｏ：原点）

★希望★完全解答★

お便り２００４／１１／７
from=juin

(1)
√x+√y=1を微分する。(1/(2√x))dx+(1/2√y))dy=0
(α,β)を通る直線は、(1/(2√α))(x-α)+(1/2√β))(y-β)=0
x/√α+y/√β=√α+√β=1
答　x/√α+y/√β=1

(2)
x=0のとき、y=√β、y=0のとき、x=√α
OP+OQ=√α+√β=1

お便り２００４／１１／７
from=wakky

（１）
まず微分します。
√ｘ＋√ｙ＝１より
｛１／（２√ｘ）｝＋｛１／（２√ｙ）｝ｙ’＝０
ゆえに
ｙ’＝（－√ｙ）／（√ｘ）
したがって曲線上の点（α，β）における接線の方程式は
ｙ＝（－√β）／（√α）（ｘ－α）＋β・・・(答）

（２）
（１）で求めた接線の方程式において
ｙ＝０，ｘ＝０を代入すると点Ｐ，Ｑの座標を得ます。
点Ｐ（α＋√αβ，０）
点Ｑ（０，β＋√αβ）
ＯＰ＝α＋√αβ
ＯＱ＝β＋√αβ だから
ＯＰ＋ＯＱ＝α＋β＋２√αβ
         ＝（√α＋√β）^2
（α，β）は曲線上の点だから
√α＋√β＝１
よって
ＯＰ＋ＯＱ＝１
（証明終わり）