質問<2047>2004/11/7
わかりません。教えてください。 曲線√x+√y=1上の任意の点(α、β)での接線が x軸、y軸と交わる点をP、Qとするとき、次に答えよ。 (1)接線の式をα、βで表わせ。 (2)OP+OQ=1であることを示せ。(O:原点) ★希望★完全解答★
お便り2004/11/7
from=juin
(1) √x+√y=1を微分する。(1/(2√x))dx+(1/2√y))dy=0 (α,β)を通る直線は、(1/(2√α))(x-α)+(1/2√β))(y-β)=0 x/√α+y/√β=√α+√β=1 答 x/√α+y/√β=1 (2) x=0のとき、y=√β、y=0のとき、x=√α OP+OQ=√α+√β=1
お便り2004/11/7
from=wakky
(1) まず微分します。 √x+√y=1より {1/(2√x)}+{1/(2√y)}y’=0 ゆえに y’=(-√y)/(√x) したがって曲線上の点(α,β)における接線の方程式は y=(-√β)/(√α)(x-α)+β・・・(答) (2) (1)で求めた接線の方程式において y=0,x=0を代入すると点P,Qの座標を得ます。 点P(α+√αβ,0) 点Q(0,β+√αβ) OP=α+√αβ OQ=β+√αβ だから OP+OQ=α+β+2√αβ =(√α+√β)^2 (α,β)は曲線上の点だから √α+√β=1 よって OP+OQ=1 (証明終わり)