質問<2049>2004/11/8
3次関数f(x)=x^3-3ax+bについて (1)この関数が極値をもつ条件を求めよ。 (2)f(x)がx=αで極大、x=βで極小となるとき、f(α)-f(β)を求めよ。 (3)(2)のα、βに対して、点(α,f(α))と点(β,f(β))を結 ぶ線分の 中点をPとするとき、Pは曲線y=f(x)上にあることを示せ。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2004/12/10
from=黒猫
(1)f'(x) = 3(x^2-a)である。これが正負の変化をする xがあればよい。 f'(x)は二次関数なので、x軸と相異なる二点で交わ ればよい(1点で交わるときは 負に変化していないので極値を持たない) よって、a>0ならば二点で交わるので、求める条件 は a>0 (2)極値をもつxはf'(x)=0⇔x^2=a⇔x = ±√aなので、増減表は x | |-√a | |√a | f'(x)| 正| 0 | 負| 0 | 正 f(x) | ↑| 極大| ↓|極小| ↑ なのでα=-√a β=√a よって、f(α)-f(β) =(-√a)^3-3a(-√a)+b-{(√a)^3-3a√a+b} =4a√a (3)P((α+β)/2 , (f(α)+f(β))/2)がfを満たせばよい。 f(α)+f(β) =(-√a)^3-3a(-√a)+b+(√a)^3-3a√a+b =2(b-3a√a) ∴ (f(α)+f(β))/2 = b α+β=0なので(α+β)/2=0 よってf((α+β)/2)=f(0)=b 以上のことから f((α+β)/2)=(f(α)+f(β))/2 したがって、Pはy=f(x)上にある。
お便り2004/12/12
from=wakky
(1) f’(x)=3(x^2-a)より a>0が極値を持つための条件 (2) a>0として (増減表は省略) x=-√aで極大、x=√aで極小 つまり α=-√a,β=√a f(α)=f(-√a)=2a√a+b f(β)=f(√a)=-2a√a+b f(α)-f(β)=4a√a (3) (α,f(α))=(-√a,2a√a+b) (β,f(β))=(√a,-2a√a+b) よって 点Pの座標は(0,b) f(0)=bだから 点Pは曲線y=f(x)上にある。