質問＜２０４９＞２００４／１１／８
from=たかよ
「関数の増減・極値」

３次関数f(x)=x＾3-3ax＋bについて
(1)この関数が極値をもつ条件を求めよ。
(2)f(x)がx=αで極大、x=βで極小となるとき、f(α)-f(β)を求めよ。
(3)(2)のα、βに対して、点(α,f(α))と点(β,f(β))を結　ぶ線分の
　　中点をＰとするとき、Ｐは曲線y=f(x)上にあることを示せ。

　　よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１２／１０
from=黒猫

(1)f'(x) = 3(x^2-a)である。これが正負の変化をする
   xがあればよい。
   f'(x)は二次関数なので、x軸と相異なる二点で交わ
   ればよい（1点で交わるときは
　 負に変化していないので極値を持たない）
　 よって、a>0ならば二点で交わるので、求める条件 
   は a>0

(2)極値をもつxはf'(x)=0⇔x^2=a⇔x = ±√aなので、増減表は
　    x  |   |-√a |   |√a |
    f'(x)| 正|  ０ | 負| ０ | 正
    f(x) | ↑| 極大| ↓|極小| ↑
なのでα＝-√a　β＝√a
よって、f(α)-f(β)
     =(-√a)＾3-3a(-√a)＋b-{(√a)＾3-3a√a＋b} 
     =4a√a

(3)P((α+β)/2 , (f(α)+f(β))/2)がfを満たせばよい。
　f(α)+f(β)
  =(-√a)＾3-3a(-√a)＋b+(√a)＾3-3a√a＋b
  =2(b-3a√a)
  ∴　(f(α)+f(β))/2 =　b

  α+β＝0なので(α+β)/2＝０
　よってf((α+β)/2)=f(0)=b
　以上のことから
　f((α+β)/2)=(f(α)+f(β))/2
  したがって、Pはy=f(x)上にある。

お便り２００４／１２／１２
from=wakky

（１）
ｆ’（ｘ）＝３（ｘ^2－ａ）より
ａ＞０が極値を持つための条件

（２）
ａ＞０として
（増減表は省略）
ｘ＝－√ａで極大、ｘ＝√ａで極小
つまり
α＝－√ａ，β＝√ａ
ｆ（α）＝ｆ（－√ａ）＝２ａ√ａ＋ｂ
ｆ（β）＝ｆ（√ａ）＝－２ａ√ａ＋ｂ
ｆ（α）－ｆ（β）＝４ａ√ａ

（３）
（α，ｆ（α））＝（－√ａ，２ａ√ａ＋ｂ）
（β，ｆ（β））＝（√ａ，－２ａ√ａ＋ｂ）
よって
点Ｐの座標は（０，ｂ）
ｆ（０）＝ｂだから
点Ｐは曲線ｙ＝ｆ（ｘ）上にある。