質問<2055>2004/11/11
体R上の3次元線型空間R^3において、任意の基底 ε={e_1,e_2,e_3}に対し、線型変換φを φ(e_1)=e_1+e_2, φ(e_2)=e_2+e_3, φ(e_3)=e_1+e_3 で定義するとき、 φ(x)=6e_1+4e_2+2e_3となるxを e_1,e_2,e_3の線型結合で表せ。 ご教授お願い致します。 ★希望★完全解答★
お便り2004/11/12
from=UnderBird
x=a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3 (a_1,a_2,a_3∈R)とおく φ(x)=φ(a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3) =a_1φ(e_1)+a_2φ(e_2)+a_3φ(e_3) =a_1(e_1+e_2)+a_2(e_2+e_3)+a_3(e_1+e_3) =(a_1+a_3)e_1+(a_1+a_2)e_2+(a_2+a_3)e_3 よって、a_1+a_3=6, a_1+a_2=4, a_2+a_3=2 を解いて a_1=4 , a_2=0 , a_3=2 となるから、 x=4e_1+0e_2+2e_3とかける。
お便り2004/11/12
from=honda
x=ae_1+be_2+ce_3とおくと φ(x)=aφ(e_1)+bφ(e_2)+cφ(e_3) =a(e_1+e_2)+b(e_2+e_3)+c(e_3+e_1) =(a+c)e_1+(a+b)e_2+(b+c)e_3 であるが, φ(x)=6e_1+4e_2+2e_3で e_1,e_2,e_3が基底なので a+c=6 a+b=4 b+c=2 よって,a=4,b=0,c=2 つまり,x=4e_1+2e_3
お便り2004/11/12
from=juin
x=ae_1+be_2+ce_3とする。 φ(x)=φ(ae_1+be_2+ce_3)=a(e_1+e_2)+b(e_2+e_3)+c(e_1+e_3) =(a+c)e_1+(a+b)e_2+(b+c)e_3だから、 a+c=6,a+b=4,b+c=2より、a=4,b=0,c=2 x=4e_1+2e_3