質問＜２０５５＞２００４／１１／１１
from=みなみ
「線型結合」

体R上の3次元線型空間R＾3において、任意の基底
ε={e_1,e_2,e_3}に対し、線型変換φを
φ(e_1)=e_1+e_2, φ(e_2)=e_2+e_3, φ(e_3)=e_1+e_3
で定義するとき、
φ(x)=6e_1+4e_2+2e_3となるxを
e_1,e_2,e_3の線型結合で表せ。

ご教授お願い致します。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１１／１２
from=UnderBird

x=a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3 (a_1,a_2,a_3∈R)とおく
φ(x)=φ(a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3)
     =a_1φ（e_1)+a_2φ（e_2)+a_3φ（e_3)
     =a_1(e_1+e_2)+a_2(e_2+e_3)+a_3(e_1+e_3)
     =(a_1+a_3)e_1+(a_1+a_2)e_2+(a_2+a_3)e_3
よって、a_1+a_3=6, a_1+a_2=4, a_2+a_3=2 を解いて
a_1=4 , a_2=0 , a_3=2 となるから、
x=4e_1+0e_2+2e_3とかける。

お便り２００４／１１／１２
from=honda

x=ae_1+be_2+ce_3とおくと
φ(x)=aφ(e_1)+bφ(e_2)+cφ(e_3)
=a(e_1+e_2)+b(e_2+e_3)+c(e_3+e_1)
=(a+c)e_1+(a+b)e_2+(b+c)e_3
であるが，
φ(x)=6e_1+4e_2+2e_3で
e_1，e_2，e_3が基底なので
a+c=6
a+b=4
b+c=2
よって，a=4，b=0，c=2
つまり，x=4e_1+2e_3

お便り２００４／１１／１２
from=juin

x=ae_1+be_2+ce_3とする。
φ(x)=φ(ae_1+be_2+ce_3)=a(e_1+e_2)+b(e_2+e_3)+c(e_1+e_3)
=(a+c)e_1+(a+b)e_2+(b+c)e_3だから、
a+c=6,a+b=4,b+c=2より、a=4,b=0,c=2
x=4e_1+2e_3