質問<2067>2004/11/14
次の問題を教えてください。 (1)次の不定積分を求めよ。 ∫(x^2/(x+1))dx (2)次の定積分を求めよ。 ∫_0^∞(x^n*e^-x)dx ★希望★完全解答★
お便り2004/11/26
from=風あざみ
(1) ∫{x^2/(x+1)}dx =∫{(x^2-1)/(x+1)}dx+∫{1/(x+1)}dx =∫(x-1)dx+∫{1/(x+1)}dx =x^2/2-x+log(x+1)+C Cは積分定数 (2) I_n=∫_0^∞(x^n)*{e^(-x)}dxと置く I_n=n*I_(n-1)を示す。 I_n =∫_0^∞(x^n)*{e^(-x)}dx =∫_0^∞(x^n)*{-e^(-x)}'dx =[-(x^n)e^(-x)]_0^∞+∫_0^∞{(x^n)}'*{e^(-x)} =n∫_0^∞{x^(n-1)}*{e^(-x)}=n*I_(n-1) したがって、 I_n =n*I_(n-1)=n*(n-1)*I_(n-2) =… =n!*I_1 I_1 =∫_0^∞(x)*{e^(-x)}dx =∫_0^∞(x)*{-e^(-x)}'dx =[-(x)e^(-x)]_0^∞+∫_0^∞{(x)}'*{e^(-x)} =∫_0^∞{e^(-x)}=[-e^(-x)]_0^∞=1だから I_n =∫_0^∞(x^n)*{e^(-x)}dx =n! となる。