質問＜２０７１＞２００４／１１／１５
from=コウ
「微分方程式」

（1）微分方程式 y'-y-x^2y^2=0を求める

（2）微分方程式 xyy''+xy'^2-yy'=0を求める

★希望★完全解答★

お便り２００５／１／２４
from=KINO

（1）ベルヌーイ型と呼ばれる方程式です。
z=y^(1-2)=1/y と変換すると，方程式は
z'+z=-x^2
になります．これを解くと
z=Ce^(-x)-x^2+2x-2
なので，答えは y=1/(Ce^(-x)-x^2+2x-2)．

（2）一般的な解法は知りませんが，z=yy'/x をxで微分すると
z'=(xyy''+xy'^2-yy')/x^2=0
となるので，z は定数（Cとおく）であることがわかります．
解くべき微分方程式は yy'=Cx となり，これは変数分離法で解けて，
y^2=Ax^2+B（A, Bは任意定数）となります．