質問<2071>2004/11/15
(1)微分方程式 y'-y-x^2y^2=0を求める (2)微分方程式 xyy''+xy'^2-yy'=0を求める ★希望★完全解答★
お便り2005/1/24
from=KINO
(1)ベルヌーイ型と呼ばれる方程式です。 z=y^(1-2)=1/y と変換すると,方程式は z'+z=-x^2 になります.これを解くと z=Ce^(-x)-x^2+2x-2 なので,答えは y=1/(Ce^(-x)-x^2+2x-2). (2)一般的な解法は知りませんが,z=yy'/x をxで微分すると z'=(xyy''+xy'^2-yy')/x^2=0 となるので,z は定数(Cとおく)であることがわかります. 解くべき微分方程式は yy'=Cx となり,これは変数分離法で解けて, y^2=Ax^2+B(A, Bは任意定数)となります.