質問<2083>2004/11/25
f(x)=1/(1-x^2)のn次導関数は f^(n)(x)=1/2*n!*(-1)^n*{1/(1+x)^n-1/(x-1)^n}であることを、 数学的帰納法で証明しなさい。 という問題です。n=1の時は明らかですが、 その次からどう導いていけばよいのかわかりません。 よろしくお願いします。 ★希望★答えのみ★
お便り2004/11/27
from=wakky
実際に確かめていませんが nで成り立つと仮定すると f^(n)(x)=1/2*n!*(-1)^n*{1/(1+x)^n-1/(x-1)^n} が成り立ちますね。 さらに両辺をxで微分してみてください。 n+1でも成り立つのではないでしょうか? それで証明は終わりです。 計算が大変そう・・・