質問＜２０９２＞２００４／１２／１
from=Tukky
「偏導関数」

次の問題をどのようにして解けばよいのか困っています。
どなたかアドバイスしていただけるようお願いします。

問）z=x/(x^2+y^2)　のとき、z_(xx)+z_(yy)を求めよ。
　（z_(xx)は関数zをxについて２回偏微分したもの、
　　z_(yy)は関数zをyについて２回偏微分したものを表す。）

★希望★完全解答★

お便り２００４／１２／２
from=UnderBird

z(x,y)のxの１階偏微分をz_x
z(x,y)のxの２階偏微分をz_(xx)
z(x,y)のyの１階偏微分をz_y
z(x,y)のyの２階偏微分をz_(yy)　と表す。

z_x=(-x^2+y^2)/(x^2+y^2)^2
z_(xx)=2x(x^2-3y^2)/(x^2+y^2)^3
z_y=-2xy/(x^2+y^2)
z_(yy)=2x(3y^2-x^2)/(x^2+y^2)^3
となるので、
z_(xx)+z_(yy)=0
このような性質の関数を調和関数といいます。