質問<2093>2004/12/1
問題を解いていて、新たに2題悩んでいる問題が出てきました。 どうか助言をいただければ幸いです。 問)次の2重積分の値を求めなさい。 ①∬√xdxdy(領域はx^2+y^2-x≦0) 極座標を用いて計算したところ、値が0となりました。 果たしてこの値が正解なのかご確認していただければ幸いです。 ②∬(x-1)dxdy(領域はx^2+y^2≦2x,x≧1) これも極座標を用いて計算してみたのですが、途中で計算が詰まって しまいた。極座標を用いないほうがよいのでしょうか。 ★希望★完全解答★
お便り2004/12/3
from=UnderBird
①∬√xdxdy(領域はx^2+y^2-x≦0)は、 領域x^2+y^2-x≦0上でz(x,y)=√x≧0です。 (x,y)=(0,0)でのみz(x,y)=√x=0でそれ以外は、z(x,y)>0ですから、 二重積分の値が0であることはありません。 極座標を使うならば、-π/2≦θ≦π/2,0≦r≦cosθ でx=r*cosθを代入し、dxdyをr*drdθにして計算してみると、 8/15となると思います。 もちろん極座標を用いなくても計算できます。 ②∬(x-1)dxdy(領域はx^2+y^2≦2x,x≧1)は、 x≧1の部分があるので、極座標を用いないほうが良いと思います。 -1≦y≦1,1≦x≦1+√(1-y^2)として、計算すると良いのでは? すると、2/3となるのではないでしょうか?