質問＜２０９３＞２００４／１２／１
from=Taku
「二重積分」

問題を解いていて、新たに２題悩んでいる問題が出てきました。
どうか助言をいただければ幸いです。

問）次の２重積分の値を求めなさい。

　①∬√xdxdy（領域はx^2+y^2-x≦0）
　　極座標を用いて計算したところ、値が０となりました。
　　果たしてこの値が正解なのかご確認していただければ幸いです。

　②∬(x-1)dxdy（領域はx^2+y^2≦2x，x≧1）
　　これも極座標を用いて計算してみたのですが、途中で計算が詰まって
　　しまいた。極座標を用いないほうがよいのでしょうか。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１２／３
from=UnderBird

①∬√xdxdy（領域はx^2+y^2-x≦0）は、
領域x^2+y^2-x≦0上でz(x,y)=√x≧0です。
(x,y)=(0,0)でのみz(x,y)=√x=0でそれ以外は、z(x,y)＞0ですから、
二重積分の値が0であることはありません。
極座標を使うならば、-π/2≦θ≦π/2,0≦r≦cosθ
でx=r*cosθを代入し、dxdyをr*drdθにして計算してみると、
8/15となると思います。
もちろん極座標を用いなくても計算できます。

②∬(x-1)dxdy（領域はx^2+y^2≦2x，x≧1）は、
x≧1の部分があるので、極座標を用いないほうが良いと思います。
-1≦y≦1,1≦x≦1+√(1-y^2)として、計算すると良いのでは？
すると、2/3となるのではないでしょうか？