質問＜２０９６＞２００４／１２／２
from=んち
「ベクトル」

三角形ABCの3辺BC,CA,ABを1：2に内分する点をそれぞれL,M,Nとするとき
次のことを証明せよ。
(1)
→AL+→BM+→CN=→0 
(2)
三角形ABCの重心Gと三角形LMNの重心G´とは一致する。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１２／１１
from=wakky

以下、ベクトルの→を省略します。
計算過程の記述は省略しています。

（１）
ＡＢ＝ａ，ＡＣ＝ｂとします。
      ｂ＋２ａ
ＡＬ＝--------
         ３
      ２ｂ
ＢＭ＝---- － ａ
       ３
       ａ
ＣＮ＝---- － ｂ
       ３
よって
ＡＬ＋ＢＭ＋ＣＮ＝０

（２）
Ｇは△ＡＢＣの重心だから
      ａ＋ｂ
ＡＧ＝------ ・・・①
        ３
      ａ＋ｂ
ＮＬ＝------
        ３
      ２ｂ－ａ
ＮＭ＝--------
         ３
Ｇ’は△ＬＭＮの重心だから
        ＮＬ＋ＮＭ     ｂ
ＮＧ’＝---------- ＝ ----
            ３         ３
よって

ＡＧ’＝ＡＮ＋ＮＧ’
        ａ＋ｂ
      ＝------- ・・・②
          ３
①②より
ＡＧ＝ＡＧ’
よって
点Ｇと点Ｇ’は一致し
△ＡＢＣの重心Ｇと△ＬＭＮの重心Ｇ’は一致する。