質問＜２１０７＞２００４／１２／１１
from=通りすがり
「ハウスドルフ空間」

大変申し訳ありませんが、早急に解答が欲しいのですが、
（R，Ο）がハウスドルフ空間となることを証明して頂きたいのです。
 よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／２／２
from=KINO

Rは実数の集合で，Οはそれに入っている「通常の」位相だとして解答を述べる。
相異なる2つの実数 a, b に対し，次の性質を持つ開区間 U, V を取れることを示す：

＜性質＞ 
U は a を含み，V は b を含む。そして U と V とは互いに素（共通部分が空集合）。

（このような U は a の開近傍で，V は b の開近傍である。）

イメージとしては，数直線を a と b の中点で切り分け，出来た二つの半直線を
それぞれ U, V とおけばよい。

U と V の構成法は次の通り：a ＜ b と仮定しても一般性を失わない。
U = (-∞, (a+b)/2)，V = ((a+b)/2,∞) とおけば，
この U と V は望みの性質を持つ。
(実際，a＜(a+b)/2＜b より a∈U と b∈V であることと U∩V が空集合であること
を確認できる。)