質問<2107>2004/12/11
大変申し訳ありませんが、早急に解答が欲しいのですが、 (R,Ο)がハウスドルフ空間となることを証明して頂きたいのです。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2005/2/2
from=KINO
Rは実数の集合で,Οはそれに入っている「通常の」位相だとして解答を述べる。 相異なる2つの実数 a, b に対し,次の性質を持つ開区間 U, V を取れることを示す: <性質> U は a を含み,V は b を含む。そして U と V とは互いに素(共通部分が空集合)。 (このような U は a の開近傍で,V は b の開近傍である。) イメージとしては,数直線を a と b の中点で切り分け,出来た二つの半直線を それぞれ U, V とおけばよい。 U と V の構成法は次の通り:a < b と仮定しても一般性を失わない。 U = (-∞, (a+b)/2),V = ((a+b)/2,∞) とおけば, この U と V は望みの性質を持つ。 (実際,a<(a+b)/2<b より a∈U と b∈V であることと U∩V が空集合であること を確認できる。)