質問＜２１２４＞２００４／１２／２６
from=たつたつ
「左移動、右移動、写像」

教えてください。
お願いします。

Ｓを単位元１を持つ乗法半群とする。
ａ∈Ｓに対して、ｘ→ａｘ、ｘ→ｘａ（ｘ∈Ｓ）によって定まるＳからＳへの
写像をそれぞれＳのａに対応する左移動、右移動といって、
それぞれγa、δaで表わすことにする。
すなわち、γa＝ａｘ、δa＝ｘａ（ｘ∈Ｓ）。
このとき、次の（１）から（４）を証明してください。
（１）γab＝γaoγb　（ａ，ｂ∈Ｓ）
（２）δab＝δboδa　（ａ，ｂ∈Ｓ）
（３）ａ∈Ｓが正則ならば、γa、δaはともにＳからＳへの全単射である。
（４）ａ∈Ｓに対して、γa、δaがともにＳからＳへの全射ならば、
　　　ａは正則である。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１２／３１
from=風あざみ

(1)
Sの任意の元xに対して
γab(x)=abx、γaoγb(x)=γa(bx)=abx
となるのでγab=γaγb

(2)
Sの任意の元xに対して
δab(x)=xab、δboδa(x)=δb(xa)=xab
となるので、δab=δboδa

(3)
aは正則なので、S中にaの逆元a^(-1)が存在する。

Sの任意の元xに対してγa{a^(-1)x}=a{a^(-1)x}=xとなるのでγaは全射
またγa(x)=γa(y)となるとき
x=a{a^(-1)x}=aγ(x)=aγ(y)=a{a^(-1)y}=yとなるので
γaは単射

Sの任意の元xに対してδa{xa^(-1)}={xa^(-1)}a=xとなるのでδaは全射
またδa(x)=δa(y)となるとき
x={xa^(-1)}a=δ(x)a=δ(y)a={ya^(-1)}a=yとなるので
δaは単射

(4)
γaとδaが全射なので、γa(x)=δa(y)=1となるようなSの元x,yが存在する。

x=1*x=(ya)x=y(ax)=y*1=y
だから、xa=ax=1となることがわかる。
よって、xが求めるaの逆元である。

したがって、aは正則である。