質問<2124>2004/12/26
教えてください。 お願いします。 Sを単位元1を持つ乗法半群とする。 a∈Sに対して、x→ax、x→xa(x∈S)によって定まるSからSへの 写像をそれぞれSのaに対応する左移動、右移動といって、 それぞれγa、δaで表わすことにする。 すなわち、γa=ax、δa=xa(x∈S)。 このとき、次の(1)から(4)を証明してください。 (1)γab=γaoγb (a,b∈S) (2)δab=δboδa (a,b∈S) (3)a∈Sが正則ならば、γa、δaはともにSからSへの全単射である。 (4)a∈Sに対して、γa、δaがともにSからSへの全射ならば、 aは正則である。 ★希望★完全解答★
お便り2004/12/31
from=風あざみ
(1) Sの任意の元xに対して γab(x)=abx、γaoγb(x)=γa(bx)=abx となるのでγab=γaγb (2) Sの任意の元xに対して δab(x)=xab、δboδa(x)=δb(xa)=xab となるので、δab=δboδa (3) aは正則なので、S中にaの逆元a^(-1)が存在する。 Sの任意の元xに対してγa{a^(-1)x}=a{a^(-1)x}=xとなるのでγaは全射 またγa(x)=γa(y)となるとき x=a{a^(-1)x}=aγ(x)=aγ(y)=a{a^(-1)y}=yとなるので γaは単射 Sの任意の元xに対してδa{xa^(-1)}={xa^(-1)}a=xとなるのでδaは全射 またδa(x)=δa(y)となるとき x={xa^(-1)}a=δ(x)a=δ(y)a={ya^(-1)}a=yとなるので δaは単射 (4) γaとδaが全射なので、γa(x)=δa(y)=1となるようなSの元x,yが存在する。 x=1*x=(ya)x=y(ax)=y*1=y だから、xa=ax=1となることがわかる。 よって、xが求めるaの逆元である。 したがって、aは正則である。