質問＜２１２５＞２００４／１２／２６
from=たっちゃん
「ベクトル空間」

教えてください。

Ｖnを、次数がn以下の実係数の多項式の全体とする。
Ｖnは、（通常の多項式の和およびスカラー倍に関して）Ｒ上のベクトル空間と
見なすことができる。
（１）dimＶnを求めよ。
（２）f(x)∈Ｖnに対して、その導関数f'(x)を対応させる写像φはＶnからＶn-1
　　　への線形写像であることを示せ。
（３）Imφ、kerφは何か。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１２／３１
from=風あざみ

(1)
V_nの基底のひとつは{1,x,…,x^n}だから、dimV_n=n+1

(2)
示すべきことは
f,gをV_nの元とすると
φ(f+g)=φ(f)+φ(g)
kを実数とするときφ(kf)=kφ(f)

f(x)=Σ_(i=0)^n{(a_i)x^i}、g(x)=Σ_(i=0)^n{(b_i)x^i}とおくと

φ(f+g)(x)=f(x)
=Σ_(i=0)^n[{(a_i)+(b_i)}x^i]Σ_(i=0)^n{(a_i)x^i}+Σ_(i=0)^n{(b_i)x^i}
={φ(f)+φ(g)}(x)

φ(kf)(x)=Σ_(i=0)^n[{k(a_i)}x^i]=kΣ_(i=0)^n{(a_i)x^i}=kφ(f)(x)となる。

よって、φはV_nからV_(n-1)への線形写像である。

(3)
V_(n-1)の任意の元f(x)=Σ_(i=0)^(n-1){(a_i)x^i}をとる。

以下のようなV_nの元g(x)をとる。
g(x)=Σ_(i=1)^(n)[{(a_i)/i}x^i]
φ(g)(x)=Σ_(i=0)^(n-1){(a_i)x^i}=f(x)
となるので、φは全射である。よってImφ=V_(n-1)

h∈kerφをとる。
h(x)=f=Σ_(i=0)^n{(c_i)x^i}

φ(h)(x)=Σ_(i=1)^n{i*(c_i)}x^(i-1)が恒等的に0となるので、
c_1=c_2=…=c_n=0となる。
したがって、h(x)=c_0(定数項)となる。

よって、kerφ={c}
(ただしcは任意の実数)となる。