質問<2125>2004/12/26
教えてください。 Vnを、次数がn以下の実係数の多項式の全体とする。 Vnは、(通常の多項式の和およびスカラー倍に関して)R上のベクトル空間と 見なすことができる。 (1)dimVnを求めよ。 (2)f(x)∈Vnに対して、その導関数f'(x)を対応させる写像φはVnからVn-1 への線形写像であることを示せ。 (3)Imφ、kerφは何か。 ★希望★完全解答★
お便り2004/12/31
from=風あざみ
(1) V_nの基底のひとつは{1,x,…,x^n}だから、dimV_n=n+1 (2) 示すべきことは f,gをV_nの元とすると φ(f+g)=φ(f)+φ(g) kを実数とするときφ(kf)=kφ(f) f(x)=Σ_(i=0)^n{(a_i)x^i}、g(x)=Σ_(i=0)^n{(b_i)x^i}とおくと φ(f+g)(x)=f(x) =Σ_(i=0)^n[{(a_i)+(b_i)}x^i]Σ_(i=0)^n{(a_i)x^i}+Σ_(i=0)^n{(b_i)x^i} ={φ(f)+φ(g)}(x) φ(kf)(x)=Σ_(i=0)^n[{k(a_i)}x^i]=kΣ_(i=0)^n{(a_i)x^i}=kφ(f)(x)となる。 よって、φはV_nからV_(n-1)への線形写像である。 (3) V_(n-1)の任意の元f(x)=Σ_(i=0)^(n-1){(a_i)x^i}をとる。 以下のようなV_nの元g(x)をとる。 g(x)=Σ_(i=1)^(n)[{(a_i)/i}x^i] φ(g)(x)=Σ_(i=0)^(n-1){(a_i)x^i}=f(x) となるので、φは全射である。よってImφ=V_(n-1) h∈kerφをとる。 h(x)=f=Σ_(i=0)^n{(c_i)x^i} φ(h)(x)=Σ_(i=1)^n{i*(c_i)}x^(i-1)が恒等的に0となるので、 c_1=c_2=…=c_n=0となる。 したがって、h(x)=c_0(定数項)となる。 よって、kerφ={c} (ただしcは任意の実数)となる。