質問＜２１２７＞２００４／１２／２６
from=AME
「三角比」

sin＾3θ-3sinθcos＾2θ+2cos＾3θ=0　を満たすθは 
0°≦θ≦180°の範囲に2つある。
それらをθ1、θ2（θ1＜θ2）として、
sinθ1、sinθ2の値を求めよ。
よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１２／２８
from=wakky

ｓｉｎ^3θ－３ｓｉｎθｃｏｓ^2θ＋２ｃｏｓ^3θ＝０
係数が１，－３，２なので
ｓｉｎθ＝ｃｏｓθのときに方程式が成り立つことが感覚的に見えてきます。
つまりｓｉｎθ－ｃｏｓθを因数にもつのではないか？・・・
ということになります。
ならば、まず因数分解を試みます。
ｓｉｎθ＝Ｓ，ｃｏｓθ＝Ｃとおくと
Ｓ^3－３ＳＣ＋２Ｃ^2＝０
Ｓ^3－ＳＣ^2－２ＳＣ^2＋２Ｃ^2＝０
Ｓ（Ｓ^2－Ｃ^2）＋２Ｃ^2（Ｃ－Ｓ）＝０
Ｓ（Ｓ－Ｃ）（Ｓ＋Ｃ）＋２Ｃ^2（Ｃ－Ｓ）＝０
（Ｓ－Ｃ）（Ｓ^2＋ＳＣ－２Ｃ^2）＝０
（Ｓ－Ｃ）^2（Ｓ＋２Ｃ）＝０
したがって
ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝０　または
ｓｉｎθ＋２ｃｏｓθ＝０
ここで
０°≦θ≦１８０°より
ｓｉｎθ≧０
ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝０のとき
ｓｉｎ^2θ＋ｃｏｓ^2θ＝１より
２ｓｉｎ^2θ＝１
ｓｉｎθ≧０より
ｓｉｎθ＝１／√２＝２／√２
（まぁ、すぐにθ＝４５°がわかりますけど・・・）
ｓｉｎθ＋２ｃｏｓθ＝０のとき
ｓｉｎ^2θ＋ｃｏｓ^2θ＝１より
ｓｉｎ^2θ＝４／５
ｓｉｎθ≧０より
ｓｉｎθ＝２／√５＝（２√５）／５
また
θ１＜θ２
ｓｉｎθ＋２ｃｏｓθ＝０のときにｓｉｎθとｃｏｓθは異符号
０°≦θ≦１８０°でそうなるのは第２象限
ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝０の時はθ＝４５°
よって
ｓｉｎθ１＝√２／２
ｓｉｎθ２＝（２√５）／５　・・・答