質問＜２１５７＞２００５／１／９
from=プー太
「面積の最小」

三辺の長さが整数で、面積も整数になる三角形うち面積が最小になるものを
完全回答でよろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００５／２／１６
from=自助努力

三辺の長さを a, b, c とおき、\sigma, \alpha, \beta, \gamma を
\sigma :=  a + b + c,
\alpha := -a + b + c,
\beta  :=  a - b + c,
\gamma :=  a + b - c
とおくと、ヘロンの公式により、面積 S は
16 S^2 = \sigma \alpha \beta \gamma
で与えられる。
\beta  + \gamma = 2a,
\gamma + \alpha = 2b,
\alpha + \beta  = 2c
であるから、\alpha, \beta, \gamma の偶奇は等しく、したがって
\sigma とも偶奇は等しい。よって
\sigma' := \sigma / 2,
\alpha' := \alpha / 2,
\beta'  := \beta  / 2,
\gamma' := \gamma / 2
とおけば、\sigma', \alpha', \beta', \gamma' は整数であり、
\sigma' \alpha' \beta' \gamma' = S^2,
\sigma' = \alpha' + \beta' + \gamma'
を満たす。
これより、S = 1, 2, 3, ... と順に代入してゆき、上記等式を満たす整数
\sigma', \alpha', \beta', \gamma' が存在するか否かを検証すればよい。
すると、S = 6 のとき初めて満たすものが存在する。
\sigma' = 6,
\alpha' = 1,
\beta'  = 2,
\gamma' = 3
とすれば、a = 5, b = 4, c = 3, S = 6 となる。□