質問<2157>2005/1/9
三辺の長さが整数で、面積も整数になる三角形うち面積が最小になるものを 完全回答でよろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2005/2/16
from=自助努力
三辺の長さを a, b, c とおき、\sigma, \alpha, \beta, \gamma を \sigma := a + b + c, \alpha := -a + b + c, \beta := a - b + c, \gamma := a + b - c とおくと、ヘロンの公式により、面積 S は 16 S^2 = \sigma \alpha \beta \gamma で与えられる。 \beta + \gamma = 2a, \gamma + \alpha = 2b, \alpha + \beta = 2c であるから、\alpha, \beta, \gamma の偶奇は等しく、したがって \sigma とも偶奇は等しい。よって \sigma' := \sigma / 2, \alpha' := \alpha / 2, \beta' := \beta / 2, \gamma' := \gamma / 2 とおけば、\sigma', \alpha', \beta', \gamma' は整数であり、 \sigma' \alpha' \beta' \gamma' = S^2, \sigma' = \alpha' + \beta' + \gamma' を満たす。 これより、S = 1, 2, 3, ... と順に代入してゆき、上記等式を満たす整数 \sigma', \alpha', \beta', \gamma' が存在するか否かを検証すればよい。 すると、S = 6 のとき初めて満たすものが存在する。 \sigma' = 6, \alpha' = 1, \beta' = 2, \gamma' = 3 とすれば、a = 5, b = 4, c = 3, S = 6 となる。□