質問＜２１６８＞２００５／１／２１
from=んち
「微分」

（問１）
方程式x^3-3ax+a=0が異なる3つの実数の解をもつような定数aの値の
範囲を求めよ。
という問題なんですがとき方を教えてください。御願いします

（問２）
点(0,1)を通り曲線y=x^3-ax^2に接する直線がちょうど2本存在するとき
実数aの値及び2本の接線の方程式を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／２／１６
from=自助努力

(1)
f'(x) = 3 x^2 - 3 a.
a ＜ 0 のとき、f'(x) ≠ 0 より不適。
a ≧ 0 のとき、f'(x) = 0 ⇔ x = \pm \sqrt{a},
f(-\sqrt{a}) = a + 2a\sqrt{a} ＞ 0,
f(\sqrt{a})  = a (1 - 2\sqrt{a}) ＜ 0 が必要十分。
したがって a ＞ 1/4. □

(2)
(t, t^3 - a t^2) における接線の式は
y - (t^3 - a t^2) = (3 t^2 - 2 a t)(x - t) … (*),
これが (0, 1) を通る必要十分条件は g(t) := 2 t^3 - a t^2 + 1 = 0.
これが 2 つの実数解を持つ必要十分条件は、二重根を持つこと。
g'(t) = 2 t (3 t - a) = 0 ⇔ t = 0, a / 3.
t = 0 は g(t) の零点ではない。よって t = a / 3 が零点。
2 (a / 3)^3 - a (a / 3)^2 + 1 = 0 ⇔ a = 3.
接線の式は、(*) に a = 3, t = 0, 1 を代入したものである。□