質問<2168>2005/1/21
(問1) 方程式x^3-3ax+a=0が異なる3つの実数の解をもつような定数aの値の 範囲を求めよ。 という問題なんですがとき方を教えてください。御願いします (問2) 点(0,1)を通り曲線y=x^3-ax^2に接する直線がちょうど2本存在するとき 実数aの値及び2本の接線の方程式を求めよ。 ★希望★完全解答★
お便り2005/2/16
from=自助努力
(1) f'(x) = 3 x^2 - 3 a. a < 0 のとき、f'(x) ≠ 0 より不適。 a ≧ 0 のとき、f'(x) = 0 ⇔ x = \pm \sqrt{a}, f(-\sqrt{a}) = a + 2a\sqrt{a} > 0, f(\sqrt{a}) = a (1 - 2\sqrt{a}) < 0 が必要十分。 したがって a > 1/4. □ (2) (t, t^3 - a t^2) における接線の式は y - (t^3 - a t^2) = (3 t^2 - 2 a t)(x - t) … (*), これが (0, 1) を通る必要十分条件は g(t) := 2 t^3 - a t^2 + 1 = 0. これが 2 つの実数解を持つ必要十分条件は、二重根を持つこと。 g'(t) = 2 t (3 t - a) = 0 ⇔ t = 0, a / 3. t = 0 は g(t) の零点ではない。よって t = a / 3 が零点。 2 (a / 3)^3 - a (a / 3)^2 + 1 = 0 ⇔ a = 3. 接線の式は、(*) に a = 3, t = 0, 1 を代入したものである。□