質問<2169>2005/1/22
すみません質問が2つあります。 1.pを奇数とするとき次の問を証明せよ。 整数n(≧2)に対して、 a^(p-1)p^n-1≡1,a^(p-1)p^n-2 NOT≡1(modp^n) 2.代数方程式x^3-18x^2-38x-40=0について次の問に 答えなさい。 ① x=2^n(nは自然数)は解にならないことを証 明せよ。 ② 方程式を解け。 1は質問に載っていた問題なのですが、答えが載っていなかったような 気がするのでよろしくお願いします。どなたか教えてください。 ★希望★完全解答★
お便り2005/1/22
from=みっちぃ
(問2) ①代数方程式の有理数解は,x=±(定数項の約数)/(最高次係数の約数)という 性質があります. よって,この問題では,x=±(40の約数)/(1の約数)=(40の約数)という有理数解 をもち得る. すると,x=2^nという解をもつなら,n=1,2,3しか考えられません. これらのnで,解になるか確かめてみましょう. しかし,正直に計算するのは少ししんどいので,少し楽をしましょう. この場合は,x>0に対して,x^3-18x^2-38x-40<x^3-18x^2であるが, x=2,4,8に対して,x^3-18x^2<0…(☆)なので, x=2^nに対して,x^3-18x^2-38x-40=0にはなりえない. ②1つの有理数解を見つければ一瞬です. x=1,2,4,5,8は①の議論で解にはなりえない. また,同様にx<0に有理数解があるか探してみると, x=-y(y>0)とおくと -y^3-18y^2+38y-40=0なので,y=1,2,4,5,8,10…を代入すると, 明らかに-y^3-18y^2+38y-40<0になりそうなので, 解はないだろうと思える. よって,有理数解になりえるのは,(☆)の議論よりx=20,40くらい しかないとわかる. x=20のとき,x^3=8000,18x^2+38x+40=18*400+38*20+2*20=8000とx=20は解. x^3-18x^2-38x-40=(x-20)(x^2+2x+2)=0を解くので x=20,-1±iが答え.