質問

すみません質問が２つあります。
１．pを奇数とするとき次の問を証明せよ。
　　整数n(≧2)に対して、
　　a^(p-1)p^n-1≡1,a^(p-1)p^n-2 NOT≡1(modp^n)
２．代数方程式x^3-18x^2-38x-40=0について次の問に
　　答えなさい。
　　①　x=2^n（ｎは自然数）は解にならないことを証
　　　　明せよ。
　　②　方程式を解け。

　
１は質問に載っていた問題なのですが、答えが載っていなかったような
気がするのでよろしくお願いします。どなたか教えてください。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１／２２
from=みっちぃ

（問２）
 ①代数方程式の有理数解は，x=±(定数項の約数)/(最高次係数の約数)という
　性質があります．

よって，この問題では，x=±(40の約数)/(1の約数)=(40の約数)という有理数解
をもち得る．
すると，x=2^nという解をもつなら，n=1,2,3しか考えられません．
これらのnで，解になるか確かめてみましょう．
しかし，正直に計算するのは少ししんどいので，少し楽をしましょう．

この場合は，x＞0に対して，x^3-18x^2-38x-40＜x^3-18x^2であるが，
x=2,4,8に対して，x^3-18x^2＜0…(☆)なので，
x=2^nに対して，x^3-18x^2-38x-40=0にはなりえない．

②1つの有理数解を見つければ一瞬です．
x=1,2,4,5,8は①の議論で解にはなりえない．

また，同様にx＜0に有理数解があるか探してみると，
x=-y(y＞0)とおくと
-y^3-18y^2+38y-40=0なので，y=1,2,4,5,8,10…を代入すると，
明らかに-y^3-18y^2+38y-40＜0になりそうなので，
解はないだろうと思える．

よって，有理数解になりえるのは，(☆)の議論よりx=20,40くらい
しかないとわかる．
x=20のとき，x^3=8000，18x^2+38x+40=18*400+38*20+2*20=8000とx=20は解．

x^3-18x^2-38x-40=(x-20)(x^2+2x+2)=0を解くので
x=20,-1±iが答え．